2010-大纲卷I理-10 单-绝对值不等式

本题导读

本题考查带绝对值的对数函数的性质以及多元变量的范围问题。核心在于由函数值相等建立两自变量互为倒数的乘积关系，进而将二元未知数代数式转化为一元函数，通过导数确定其单调性与取值区间。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(理)） 已知函数 $f(x)=|\lg x|$，若 $0<a<b$，且 $f(a)=f(b)$，则 $a+2b$ 的取值范围是()

A. $(2\sqrt{2},+\infty )$　　　　B. $[2\sqrt{2},+\infty )$　　　　C. $(3,+\infty )$　　　　D. $[3,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析函数 $f(x)=|\lg x|$ 的图象，因 $0<a<b$ 且 $f(a)=f(b)$，必然满足 $\lg a<0<\lg b$。

2. 去掉绝对值符号建立方程：$-\lg a=\lg b⟹\lg (ab)=0⟹ab=1$。

3. 得到约束关系 $b=\frac{1}{a}$。由 $a<b⟹a<\frac{1}{a}⟹0<a<1$。

4. 目标式转化为 $g(a)=a+\frac{2}{a}$，研究该函数在 $(0,1)$ 上的单调性，即可获得取值范围。

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(a)=f(b)$，即 $|\lg a|=|\lg b|$，且 $0<a<b$。 由对数函数图象可知，必须一正一负，即 $\lg a=-\lg b⟹\lg a+\lg b=0⟹\lg (ab)=0$， 由此得 $ab=1$，即 $b=\frac{1}{a}$。 因为 $a<b$，所以 $a<\frac{1}{a}⟹a^2<1$，结合 $a>0$ 得 $0<a<1$。 把 $b=\frac{1}{a}$ 代入目标式 $a+2b$ 中，设为新函数 $g(a)$： $g(a)=a+\frac{2}{a}$，其中 $a\in (0,1)$。 对 $g(a)$ 求导数： $g^{\prime }(a)=1-\frac{2}{a^2}=\frac{a^2-2}{a^2}$。 因为 $0<a<1⟹a^2<1$，所以 $a^2-2<0$ 恒成立， 即在区间 $(0,1)$ 上，$g^{\prime }(a)<0$ 恒成立，函数 $g(a)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减。 当 $a\to 1^{-}$ 时，$g(a)\to 1+\frac{2}{1}=3$； 当 $a\to 0^{+}$ 时，$g(a)\to +\infty$。 由于 $a$ 严格小于 1，所以 $g(a)>3$。 故 $a+2b$ 的取值范围是 $(3,+\infty )$。 答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数绝对值函数形成的倒数对偶性 $ab=1$，一元对勾型函数的单调性。

2. 核心方法：消元转化法、利用导数严格判定区间单调边界。

3. 避坑指南：容易盲目套用基本不等式 $a+\frac{2}{a}\ge 2\sqrt{2}$ 误选 A 或 B。必须注意，基本不等式取等号的条件是 $a=\frac{2}{a}⟹a=\sqrt{2}$，而本题中自变量被约束在 $0<a<1$ 内，根本无法取到 $\sqrt{2}$，故必须使用单调性判定边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于翻折变换对数函数 $y=|{\log }_{t}x|$ 的经典考查模型。由于其关于 $x=1$ 两侧对称（对数相反），其两自变量恒满足乘积为 1，是历届高考压轴小题的常客。

2. 结论推广：若 $f(x)=|{\log }_{t}x|$ 满足 $f(a)=f(b)$（$a<b$），则 $ma+nb$ 在约束 $0<a<1$ 下，若 $m<n$，其函数在区间内单调递减，取值范围为 $(m+n,+\infty )$。本题 $m=1,n=2$，故范围直接为 $(3,+\infty )$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-01 填-对数反函数
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2011-江苏卷-02 填-对数型复合函数单调区间