2010-大纲卷II文-07 单-切线定参

本题导读

考查切线定参。$y^{\prime }=2x+a$，$x=0$ 处斜率 $a=1$；$(0,b)$ 代入 $x-y+1=0$ 得 $b=1$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(文)） 若曲线 $y=x^2+ax+b$ 在点 $(0,b)$ 处的切线方程是 $x-y+1=0$，则()

A. $a=1$，$b=1$　　B. $a=-1$，$b=1$　　C. $a=1$，$b=-1$　　D. $a=-1$，$b=-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y^{\prime }=2x+a$，$x=0$ 处切线斜率为 $a$。
2. 切线 $x-y+1=0$ 即 $y=x+1$，斜率 $1$，故 $a=1$。
3. 切点 $(0,b)$ 在切线上：$0-b+1=0$，$b=1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=x^2+ax+b$ 得 $y^{\prime }=2x+a$， 曲线在点 $(0,b)$ 处的切线斜率为 $y^{\prime }{|}_{x=0}=a$。 切线 $x-y+1=0$ 即 $y=x+1$，斜率为 $1$，所以 $a=1$。 又切点 $(0,b)$ 在切线上，代入得 $0-b+1=0$，即 $b=1$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数几何意义与切线定参

核心方法：斜率条件定 $a$，切点在切线上定 $b$

避坑指南：点 $(0,b)$ 既在曲线上（代入恒成立）又在切线上——用后者才能列方程；只代斜率条件会漏掉 $b$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线问题三要素：切点、斜率、方程，任给其二可求其三。

结论推广：“在某点处的切线”意味着该点即切点，与”过某点的切线”严格区分。

方法推广：切线 $x-y+1=0$ 先化为斜截式 $y=x+1$ 再读斜率，避免符号错误。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷文-12 单-切线截距累乘
• 2009-浙江卷文-22 解-抛物线切线
• 2009-江苏卷-09 填-切线求点
• 2011-山东卷文-04 单-导数切线截距