2010-大纲卷II理-11 单-立体几何

本题导读

本题考查空间中点到直线的距离、空间解析几何与二次曲面，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷II(理)） 与正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的三条棱 $AB$、$C{C}_1$、$A_1{D}_1$ 所在直线的距离相等的点 ()

A. 有且只有 1 个　　　　　　　　　　　　　　B. 有且只有 2 个

C. 有且只有 3 个　　　　　　　　　　　　　　D. 有无数个

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以正方体顶点建立空间直角坐标系，写出三条异面直线 $AB,C{C}_1,A_1{D}_1$ 的方程。
2. 表达动点 $P(x,y,z)$ 到这三条直线的距离方程。
3. 通过联立方程得出距离相等点的轨迹性质（空间曲线），从而确定解的个数。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点，$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}_1}$ 方向分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。设正方体棱长为 $1$。

则三条直线方程分别为：

• 直线 $AB$：$y=0,z=0$
• 直线 $C{C}_1$：$x=1,y=1$
• 直线 $A_1{D}_1$：$x=0,z=1$

设空间任一点为 $P(x,y,z)$，到三条直线的距离分别为 $d_1,d_2,d_3$：

• $d_1^2=y^2+z^2$
• $d_2^2=(x-1{)}^2+(y-1{)}^2$
• $d_3^2=x^2+(z-1{)}^2$

由 $d_1^2=d_2^2=d_3^2$ 得方程组： $\{\begin{array}{l}{y}^2+z^2=(x-1{)}^2+(y-1{)}^2\text{(1)}\\ y^2+z^2=x^2+(z-1{)}^2\text{(2)}\end{array}$

由 ② 式简化得 $y^2=x^2-2z+1$。方程组表示两条二次曲面的交线，在三维空间中为一条连续的曲线，曲线上有无数个点（例如正方体中心 $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ 即为其中一点）。

故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间点到直线的距离公式与轨迹问题。
2. 核心方法：坐标法将几何问题代数化。
3. 避坑指南：切勿仅凭直觉误以为只有正方形中心 $1$ 个点，空间中两曲面的交线通常包含无限多点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于两两异面且垂直的三条直线等距离点轨道的拓扑性质。
2. 结论推广：空间中与三条两两异面且互相垂直的直线距离相等的点构成的轨迹为一条空间曲线（有无数个点）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

D

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷理-17 解-空间中直线与直线垂直判定
• 2014-广东卷理-07 单-空间中直线与直线的位置关系
• 1998-上海文-14 单-空间中的命题判定