2010-江西卷理-02 单-绝对值不等式

本题导读

考查简单集合（绝对值不等式与二次函数值域）的解法及其交集运算。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） 已知集合 $A=\{x\mid |x|\le 1,x\in \mathbf{R}\},B=\{y\mid y=x^2,x\in \mathbf{R}\}$，则 $A\cap B=$()

A. $\{x\mid -1\le x\le 1\}$　　　　　B. $\{x\mid x\ge 0\}$　　　　　C. $\{x\mid 0\le x\le 1\}$　　　　　D. $\varnothing$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 $A$：解绝对值不等式 $|x|\le 1$。
2. 化简集合 $B$：求函数 $y=x^2$ 的值域。
3. 求两集合的交集 $A\cap B$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解： 由 $|x|\le 1$ 得 $-1\le x\le 1$，故 $A=\{x\mid -1\le x\le 1\}$。 因为对任意 $x\in \mathbf{R}$，均有 $y=x^2\ge 0$，故 $B=\{y\mid y\ge 0\}$。

取交集得： $A\cap B=\{x\mid -1\le x\le 1\}\cap \{x\mid x\ge 0\}=\{x\mid 0\le x\le 1\}$

正确选项：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的表示与交集运算、二次函数的值域。
2. 核心方法：数轴示界法求交集。
3. 避坑指南：注意集合 $B$ 中的元素代表的是函数 $y=x^2$ 的值域（$y\ge 0$），而非定义域。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于高一集合与函数定义域、值域基础题型。
2. 结论推广：若 $A=[-a,a]$ ($a>0$)，$B=[0,+\infty )$，则 $A\cap B=[0,a]$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2012-天津卷文-09 填-绝对值不等式与整数集合