2010-江西卷理-19 解-导数

本题导读

本题主要考查利用导数研究含对数函数的单调性与最值问题，重点在于求导后的代数式化简及在特定区间上导函数符号的判定。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） 设函数 $f(x)=\ln x+\ln (2-x)+ax(a>0)$.

(1)当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；

(2)若 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上的最大值为 $\frac{1}{2}$，求 $a$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 求函数定义域：由对数真数大于 0 得 $x\in (0,2)$。
2. 第（1）问：代入 $a=1$ 求导，化简 $f^{\prime }(x)$ 并通过分子通分确定符号变化，进而给出单调增减区间。
3. 第（2）问：分析 $x\in (0,1]$ 时导数 $f^{\prime }(x)$ 的正负特征，确定 $f(x)$ 的单调性及最大值点，列方程求解 $a$。

✅【答案】

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(1) 单调递增区间为 $(0,\sqrt{2})$，单调递减区间为 $(\sqrt{2},2)$

(2) $a=\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 由真数大于零得： $\{\begin{array}{l}x>0\\ 2-x>0\end{array}⟹0<x<2$ 故函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,2)$。

对 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2-x}+a=\frac{(2-x)-x}{x(2-x)}+a=\frac{2-2x}{x(2-x)}+a$

（1）当 $a=1$ 时， $f^{\prime }(x)=\frac{2-2x}{x(2-x)}+1=\frac{2-2x+2x-x^2}{x(2-x)}=\frac{2-x^2}{x(2-x)}$

因为当 $x\in (0,2)$ 时，$x(2-x)>0$，所以 $f^{\prime }(x)$ 的符号与 $2-x^2$ 相同。

• 由 $f^{\prime }(x)>0⟹2-x^2>0$，解得 $0<x<\sqrt{2}$；
• 由 $f^{\prime }(x)<0⟹2-x^2<0$，解得 $\sqrt{2}<x<2$。

故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(0,\sqrt{2})$，单调递减区间为 $(\sqrt{2},2)$。

（2）当 $x\in (0,1]$ 时： $2-2x\ge 0$，且 $x(2-x)>0$，故 $\frac{2-2x}{x(2-x)}\ge 0$。 又已知 $a>0$， 因此 $f^{\prime }(x)=\frac{2-2x}{x(2-x)}+a>0$ 在 $(0,1)$ 上恒成立。

所以 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上单调递增。

故 $f(x)$ 在 $(0,1]$ 上的最大值为 $f(1)$。 $f(1)=\ln 1+\ln (2-1)+a\cdot 1=0+0+a=a$

已知最大值为 $\frac{1}{2}$， 所以 $a=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数的定义域、导数的公式运用、函数的单调性与最值。
2. 核心方法：化简导函数分子，观察非负项，减少不必要的分类讨论。
3. 避坑指南：先求定义域再讨论单调性；第（2）问注意区间 $(0,1]$ 上 $2-2x\ge 0$ 且 $a>0$，导函数恒正，最大值在右端点 $x=1$ 处取得。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中利用导数研究含参对数函数单调性与最值的典型问题，考查定义域意识与导函数符号判定的基本功。
2. 结论推广：对形如 $f(x)=\ln x+\ln (m-x)+ax$ 的函数，先由真数约束确定定义域，再通分合并判断导函数符号，可避免盲目分类讨论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较