2010-浙江卷理-10 单-对数

本题导读

本题考查对数函数图象平移及过点问题的枚举计数，通过代入代数条件精确定位满足“恰好经过两个点”的函数个数。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(理)） 设函数的集合 $P=\left\{f(x)={\log }_2(x+a)+b|a=-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1;b=-1,0,1\right\}$， 平面上点的集合 $Q=\left\{(x,y)|x=-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1;y=-1,0,1\right\}$， 则在同一直角坐标系中，$P$ 中函数 $f(x)$ 的图象恰好经过 $Q$ 中两个点的函数的个数是()

A. $4$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $10$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析函数族 $P$ 的元素总数：$a$ 有 4 种取值，$b$ 有 3 种取值，故 $P$ 中共有 $4\times 3=12$ 个不同的对数函数。
2. 分析点集 $Q$ 的元素总数：$x$ 有 4 种取值，$y$ 有 3 种取值，点集 $Q$ 中共有 $4\times 3=12$ 个点。
3. 建立过点条件：点 $(x,y)\in Q$ 在函数 $f(x)$ 的图象上 $⟺y={\log }_2(x+a)+b⟺y-b={\log }_2(x+a)⟺x+a=2^{y-b}$。
4. 统计对于每对 $(a,b)$，满足 $x+a=2^{y-b}$ 且 $(x,y)\in Q$ 的解 $(x,y)$ 的个数 $N(a,b)$： 寻找使得 $N(a,b)=2$ 的组合 $(a,b)$ 的数量。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：列出过点条件 点 $(x,y)\in Q$ 在 $f(x)={\log }_2(x+a)+b$ 图象上等价于： $x+a=2^{y-b}$

其中 $x,a\in \left\{-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1\right\}$，且 $y,b\in \{-1,0,1\}$。

注意到 $x+a\in \left\{-1,-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2\right\}$，但 $2^{y-b}$ 恒大于 $0$，所以 $x+a$ 只能取正数，即： $x+a\in \left\{\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2\right\}$

同时 $y-b\in \{-2,-1,0,1,2\}$，对应的 $2^{y-b}\in \left\{\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,2,4\right\}$。 对比可知，$x+a=2^{y-b}$ 可能的取值为 $\frac{1}{2},1,2$。

第二步：对 12 组 $(a,b)$ 进行枚举检验过点数 $N(a,b)$

• 当 $a=-\frac{1}{2}$ 时：$x\in \left\{0,\frac{1}{2},1\right\}$（满足 $x+a>0$）。 此时 $x+a\in \left\{-\frac{1}{2}\text{(舍)},\frac{1}{2},1\right\}⟹x+a\in \left\{\frac{1}{2},1\right\}$。
• $b=-1$：$y\in \{-1,0,1\}⟹y-b\in \{0,1,2\}⟹2^{y-b}\in \{1,2,4\}$。 对应 $x+a=2^{y-b}=1⟹x+a=1⟹x=\frac{3}{2}\notin Q$；无法匹配。$N=0$；
• $b=0$：$y-b\in \{-1,0,1\}⟹2^{y-b}\in \left\{\frac{1}{2},1,2\right\}$。
  • 若 $2^{y-b}=\frac{1}{2}⟹y=-1$，则 $x+a=\frac{1}{2}⟹x=1\in Q$ $\to$ 点 $(1,-1)$；
  • 若 $2^{y-b}=1⟹y=0$，则 $x+a=1⟹x=\frac{3}{2}\notin Q$；
  • 故此组过点数 $N=1$。
• $b=1$：$y-b\in \{-2,-1,0\}⟹2^{y-b}\in \left\{\frac{1}{4},\frac{1}{2},1\right\}$。
  • 若 $2^{y-b}=\frac{1}{2}⟹y=0\to x=1\in Q$ $\to$ 点 $(1,0)$；
  • 故 $N=1$。
• 当 $a=0$ 时：$x\in \left\{\frac{1}{2},1\right\}$。$x+a\in \left\{\frac{1}{2},1\right\}$。
• $b=-1$：$2^{y-b}\in \{1,2,4\}$。当 $y-b=0(y=-1)$ 时，$x=1\in Q$ $\to$ 点 $(1,-1)$。$N=1$；
• $b=0$：$2^{y-b}\in \left\{\frac{1}{2},1,2\right\}$。
  • $y-b=-1(y=-1)⟹x=\frac{1}{2}\in Q$ $\to$ 点 $\left(\frac{1}{2},-1\right)$；
  • $y-b=0(y=0)⟹x=1\in Q$ $\to$ 点 $(1,0)$；
  • 符合条件：通过 2 个点！$N=2$。
• $b=1$：$2^{y-b}\in \left\{\frac{1}{4},\frac{1}{2},1\right\}$。
  • $y-b=-1(y=0)⟹x=\frac{1}{2}\in Q$ $\to$ 点 $\left(\frac{1}{2},0\right)$；
  • $y-b=0(y=1)⟹x=1\in Q$ $\to$ 点 $(1,1)$；
  • 符合条件：通过 2 个点！$N=2$。
• 当 $a=\frac{1}{2}$ 时：$x\in \left\{0,\frac{1}{2},1\right\}$。$x+a\in \left\{\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\right\}$。
• $b=-1$：$2^{y-b}\in \{1,2,4\}$。$y-b=0(y=-1)⟹x+a=1⟹x=\frac{1}{2}\in Q$ $\to$ 点 $\left(\frac{1}{2},-1\right)$。$N=1$；
• $b=0$：$2^{y-b}\in \left\{\frac{1}{2},1,2\right\}$。
  • $y-b=-1(y=-1)⟹x+a=\frac{1}{2}⟹x=0\in Q$ $\to$ 点 $(0,-1)$；
  • $y-b=0(y=0)⟹x+a=1⟹x=\frac{1}{2}\in Q$ $\to$ 点 $\left(\frac{1}{2},0\right)$；
  • 符合条件：通过 2 个点！$N=2$。
• $b=1$：$2^{y-b}\in \left\{\frac{1}{4},\frac{1}{2},1\right\}$。
  • $y-b=-1(y=0)⟹x+a=\frac{1}{2}⟹x=0\in Q$ $\to$ 点 $(0,0)$；
  • $y-b=0(y=1)⟹x+a=1⟹x=\frac{1}{2}\in Q$ $\to$ 点 $\left(\frac{1}{2},1\right)$；
  • 符合条件：通过 2 个点！$N=2$。
• 当 $a=1$ 时：$x\in \left\{-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1\right\}$。$x+a\in \left\{\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2\right\}$。
• $b=-1$：$2^{y-b}\in \{1,2,4\}$。
  • $y-b=0(y=-1)⟹x+a=1⟹x=0\in Q$ $\to$ 点 $(0,-1)$；
  • $y-b=1(y=0)⟹x+a=2⟹x=1\in Q$ $\to$ 点 $(1,0)$；
  • 符合条件：通过 2 个点！$N=2$。
• $b=0$：$2^{y-b}\in \left\{\frac{1}{2},1,2\right\}$。
  • $y-b=-1(y=-1)⟹x+a=\frac{1}{2}⟹x=-\frac{1}{2}\in Q$ $\to$ 点 $\left(-\frac{1}{2},-1\right)$；
  • $y-b=0(y=0)⟹x+a=1⟹x=0\in Q$ $\to$ 点 $(0,0)$；
  • $y-b=1(y=1)⟹x+a=2⟹x=1\in Q$ $\to$ 点 $(1,1)$；
  • 此组过点数 $N=3$（排除）；
• $b=1$：$2^{y-b}\in \left\{\frac{1}{4},\frac{1}{2},1\right\}$。
  • $y-b=-1(y=0)⟹x+a=\frac{1}{2}⟹x=-\frac{1}{2}\in Q$ $\to$ 点 $\left(-\frac{1}{2},0\right)$；
  • $y-b=0(y=1)⟹x+a=1⟹x=0\in Q$ $\to$ 点 $(0,1)$；
  • 符合条件：通过 2 个点！$N=2$。

第三步：汇总满足 $N=2$ 的组合数

满足过点数 $N=2$ 的 $(a,b)$ 组合为：

1. $(0,0)$
2. $(0,1)$
3. $\left(\frac{1}{2},0\right)$
4. $\left(\frac{1}{2},1\right)$
5. $(1,-1)$
6. $(1,1)$

共计 $6$ 个函数。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数方程代数检验、集合的有序对匹配。
2. 核心方法：将方程等价变形为 $x+a=2^{y-b}$ $\to$ 固定 $a$ 遍历 $b$ 统计有效解 $(x,y)$ 个数。
3. 避坑指南：注意当 $a=1,b=0$ 时，满足条件的点共有 3 个（$\left(-\frac{1}{2},-1\right),(0,0),(1,1)$），不属于“恰好过 2 个点”，切勿多算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：结合集合与对数函数图象特征的压轴选择题。
2. 结论推广：对指数/对数函数在网格点上的交点计数，转化为整数/半整数离散方程解的个数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-01 填-对数反函数
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2011-江苏卷-02 填-对数型复合函数单调区间