2010-浙江卷理-21 解-椭圆

本题导读

本题为 2010 年浙江高考理科数学压轴题，考查椭圆焦点的求解、直线与椭圆相交韦达定理的应用，以及“原点在以线段为直径的圆内”转换为向量数量积 $\overrightarrow{OG}\cdot \overrightarrow{OH}<0$ 的代数求解。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(理)） 21. 已知 $m>1$，直线 $l:x-my-\frac{m^2}{2}=0$，椭圆 $C:\frac{x^2}{m^2}+y^2=1$，$F_1,F_2$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右焦点.

(1) 当直线 $l$ 过右焦点 $F_2$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(2) 设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$△A{F}_1{F}_2,△B{F}_1{F}_2$ 的重心分别为 $G,H$. 若原点 $O$ 在以线段 $GH$ 为直径的圆内，求实数 $m$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：

• 由椭圆 $C:\frac{x^2}{m^2}+y^2=1(m>1)$ 得 $a=m,b=1⟹c=\sqrt{m^2-1}$；
• 右焦点 $F_2(\sqrt{m^2-1},0)$ 代入直线 $l:x-my-\frac{m^2}{2}=0$，有 $\sqrt{m^2-1}-0-\frac{m^2}{2}=0⟹m^2-1=\frac{m^4}{4}$，解出 $m^2$，代回即可得到直线方程。

2. 第 (2) 问：

• 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，写出重心 $G,H$ 的坐标公式： $G\left(\frac{x_1+0}{3},\frac{y_1+0}{3}\right)=\left(\frac{x_1}{3},\frac{y_1}{3}\right),H\left(\frac{x_2}{3},\frac{y_2}{3}\right)$ （因为 $F_1,F_2$ 中点为原点 $O(0,0)$，根据重心坐标公式 $\left(\frac{x_A+x_{F_1}+x_{F_2}}{3},\frac{y_A+y_{F_1}+y_{F_2}}{3}\right)=\left(\frac{x_1}{3},\frac{y_1}{3}\right)$）。
• 原点 $O$ 在以 $GH$ 为直径的圆内 $⟺\overrightarrow{OG}\cdot \overrightarrow{OH}<0⟺\frac{1}{9}(x_1{x}_2+y_1{y}_2)<0⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2<0$。
• 联立直线与椭圆方程，用韦达定理表达 $x_1{x}_2+y_1{y}_2$，结合判别式 $\Delta >0$ 与 $m>1$ 求出 $m$ 的取值范围。

✅【答案】

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第（1）问直线𝑙的方程为𝑥−√2𝑦−1=0；第（2）问𝑚∈(1,2).

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求直线 $l$ 的方程

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{m^2}+y^2=1(m>1)$，所以 $a^2=m^2,b^2=1$。 半焦距 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{m^2-1}$，右焦点 $F_2(\sqrt{m^2-1},0)$。

因为直线 $l:x-my-\frac{m^2}{2}=0$ 过点 $F_2(\sqrt{m^2-1},0)$，代入坐标得： $\sqrt{m^2-1}-m\cdot 0-\frac{m^2}{2}=0⟹\sqrt{m^2-1}=\frac{m^2}{2}$

两边平方： $m^2-1=\frac{m^4}{4}⟹m^4-4m^2+4=0⟹(m^2-2{)}^2=0$

解得 $m^2=2$。因为 $m>1$，所以 $m=\sqrt{2}$。

代入直线 $l$ 的方程： $x-\sqrt{2}y-1=0$

答：直线 $l$ 的方程为 $x-\sqrt{2}y-1=0$.

---

(2) 求实数 $m$ 的取值范围

已知 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$，由三角形重心坐标公式，对于 $△A{F}_1{F}_2$ 的重心 $G$： $x_G=\frac{x_1+(-c)+c}{3}=\frac{x_1}{3},y_G=\frac{y_1+0+0}{3}=\frac{y_1}{3}$ 即 $G\left(\frac{x_1}{3},\frac{y_1}{3}\right)$，同理 $H\left(\frac{x_2}{3},\frac{y_2}{3}\right)$。

原点 $O$ 在以 $GH$ 为直径的圆内等价于 $\angle GOH$ 为钝角，即： $\overrightarrow{OG}\cdot \overrightarrow{OH}<0$

以坐标表示： $\left(\frac{x_1}{3}\right)\left(\frac{x_2}{3}\right)+\left(\frac{y_1}{3}\right)\left(\frac{y_2}{3}\right)<0⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2<0\text{(1)}$

下面联立直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的方程。 由直线 $l:x=my+\frac{m^2}{2}$ 代入椭圆方程 $\frac{x^2}{m^2}+y^2=1$（两边同乘 $m^2$ 得 $x^2+m^2{y}^2=m^2$）： ${\left(my+\frac{m^2}{2}\right)}^2+m^2{y}^2=m^2$ $m^2{y}^2+m^{3}y+\frac{m^4}{4}+m^2{y}^2=m^2$ $2m^2{y}^2+m^{3}y+\left(\frac{m^4}{4}-m^2\right)=0$

两边同除以 $m^2>0$： $2y^2+my+\left(\frac{m^2}{4}-1\right)=0$

该一元二次方程有解须满足判别式 $\Delta >0$： $\Delta =m^2-4\times 2\times \left(\frac{m^2}{4}-1\right)=m^2-2m^2+8=8-m^2>0$ 解得 $m^2<8$。已知 $m>1$，所以： $1<m<2\sqrt{2}\text{(2)}$

由韦达定理： $y_1+y_2=-\frac{m}{2},y_1{y}_2=\frac{\frac{m^2}{4}-1}{2}=\frac{m^2-4}{8}$

表达 $x_1{x}_2$： $x_1=m{y}_1+\frac{m^2}{2},x_2=m{y}_2+\frac{m^2}{2}$ $x_1{x}_2=\left(m{y}_1+\frac{m^2}{2}\right)\left(m{y}_2+\frac{m^2}{2}\right)=m^2{y}_1{y}_2+\frac{m^3}{2}(y_1+y_2)+\frac{m^4}{4}$ 代入韦达定理： $x_1{x}_2=m^2\cdot \left(\frac{m^2-4}{8}\right)+\frac{m^3}{2}\cdot \left(-\frac{m}{2}\right)+\frac{m^4}{4}$ $=\frac{m^4-4m^2}{8}-\frac{m^4}{4}+\frac{m^4}{4}=\frac{m^4-4m^2}{8}$

代入条件 ① 式 $x_1{x}_2+y_1{y}_2<0$： $\frac{m^4-4m^2}{8}+\frac{m^2-4}{8}<0$ $\frac{m^4-3m^2-4}{8}<0⟹m^4-3m^2-4<0$

因式分解： $(m^2-4)(m^2+1)<0$

因为 $m^2+1>0$ 恒成立，所以： $m^2-4<0⟹m^2<4⟹-2<m<2$

结合已知 $m>1$ 及判别式限制条件 ②（$1<m<2\sqrt{2}$），取交集： $1<m<2$

答：实数 $m$ 的取值范围是 $(1,2)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆焦点计算、直线与椭圆联立韦达定理、重心坐标公式、点在圆内与向量数量积关系 $\overrightarrow{OG}\cdot \overrightarrow{OH}<0$。
2. 核心方法：重心坐标代换 $G(x_1/3,y_1/3)\to$ 数量积转代数条件 $x_1{x}_2+y_1{y}_2<0\to$ 韦达定理及判别式求 $m$ 的范围。
3. 避坑指南：

• 容易忽视一元二次方程根的判别式 $\Delta >0⟹m<2\sqrt{2}$，本题中虽然 $m<2$ 被判别式完全包含，但步骤中必须列出校验；
• 两焦点 $F_1,F_2$ 中点为原点 $O(0,0)$，故重心的坐标直接化简为 $\left(\frac{x_1}{3},\frac{y_1}{3}\right)$，切勿写错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：浙江高考解析几何压轴第 21 题经典考题。
2. 结论推广：以线段 $AB$ 为直径的圆包含/过/不包含原点，分别充要对应 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}<0/=0/>0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-19 解-椭圆等腰三角形面积
• 2012-四川卷理-15 填-椭圆与三角形
• 2012-安徽卷文-20 解-椭圆焦点三角形与面积