2010-湖北卷文-07 单-等比数列求和比

本题导读

考查等比数列。$a_3=a_1+2a_2$ 化为 $q^2=1+2q$，$q=1+\sqrt{2}$；$\frac{a_9+a_{10}}{a_7+a_8}=\frac{q^2(a_7+a_8)}{a_7+a_8}=q^2=3+2\sqrt{2}$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(文)） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 中，各项都是正数，且 $a_1$，$\frac{1}{2}{a}_3$，$2a_2$ 成等差数列，则 $\frac{a_9+a_{10}}{a_7+a_8}$ 等于()

A. $1+\sqrt{2}$　　　　　　B. $1-\sqrt{2}$　　　　　　C. $3+2\sqrt{2}$　　　　　　D. $3-2\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等差中项：$2\times \frac{1}{2}{a}_3=a_1+2a_2$，即 $a_3=a_1+2a_2$。
2. $a_2=a_{1}q$，$a_3=a_1{q}^2$，约去 $a_1>0$：$q^2=1+2q$，$q^2-2q-1=0$。
3. $q=1\pm \sqrt{2}$，各项为正故 $q>0$，取 $q=1+\sqrt{2}$。
4. $a_9=a_7{q}^2$，$a_{10}=a_8{q}^2$，故 $\frac{a_9+a_{10}}{a_7+a_8}=q^2=(1+\sqrt{2}{)}^2=3+2\sqrt{2}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列的公比为 $q$. 由 $a_1$，$\frac{1}{2}{a}_3$，$2a_2$ 成等差数列，得 $2\cdot \frac{1}{2}{a}_3=a_1+2a_2,\text{即}{a}_3=a_1+2a_2.$ 因为 $a_2=a_{1}q$，$a_3=a_1{q}^2$，且 $a_1>0$，约去 $a_1$ 得 $q^2=1+2q,\text{即}{q}^2-2q-1=0.$ 解得 $q=1\pm \sqrt{2}$. 又各项都是正数，$q>0$，故 $q=1+\sqrt{2}$. 由 $a_9=a_7{q}^2$，$a_{10}=a_8{q}^2$，得 $\frac{a_9+a_{10}}{a_7+a_8}=\frac{q^2(a_7+a_8)}{a_7+a_8}=q^2=(1+\sqrt{2}{)}^2=3+2\sqrt{2}.$ 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列相邻两项求和比

核心方法：由 $a_{n+1}=a_n+2S_n$ 递推构造公比 $q=1+\sqrt{2}$，比值即 $q^2$

避坑指南：$S_{n+1}-S_n=a_n+2S_n$ 得 $S_{n+1}=3S_n+a_n$，联立得 $q^2-2q-1=0$，$q=1+\sqrt{2}$，$\frac{a_{n+2}}{a_n}=q^2=3+2\sqrt{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列中相隔两项之比等于公比的平方。

结论推广：$q^2-2q-1=0$ 的正根 $q=1+\sqrt{2}$；$\frac{a_{n+2}}{a_n}=q^2$。

方法推广：由 $a_{n+1}$ 与 $S_n$ 的关系式先消去 $S_n$ 得纯 $a_n$ 递推，再定公比。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-03 单-等差等比中项
• 2011-四川卷文-20 解-等比数列等差条件
• 2011-广东卷文-11 填-等比数列公比
• 2009-浙江卷文-11 填-等比数列求和比