2010-湖北卷文-08 单-正弦定理求角

本题导读

考查向量线性运算。$M$ 为重心，$a+b+c=3m$，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=b+c-2a=3m-3a=3\overrightarrow{AM}$，故 $m=3$，选 B。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(文)） 已知 $△ABC$ 和点 $M$ 满足 $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$. 若存在实数 $m$ 使得 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=m\overrightarrow{AM}$ 成立，则 $m$ 等于()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

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1. 设 $A,B,C,M$ 的位置向量为 $a,b,c,m$。$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ 即 $(a-m)+(b-m)+(c-m)=\vec{0}$。
2. 所以 $a+b+c=3m$。
3. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(b-a)+(c-a)=b+c-2a=3m-3a=3(m-a)=3\overrightarrow{AM}$。
4. 故 $m=3$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

取任意原点，记点 $A$，$B$，$C$，$M$ 的位置向量分别为 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$，$\mathbf{c}$，$\mathbf{m}$. 题设 $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ 即 $(\mathbf{a}-\mathbf{m})+(\mathbf{b}-\mathbf{m})+(\mathbf{c}-\mathbf{m})=\vec{0},$ 所以 $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=3\mathbf{m}$. 另一方面， $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(\mathbf{b}-\mathbf{a})+(\mathbf{c}-\mathbf{a})=\mathbf{b}+\mathbf{c}-2\mathbf{a}=3\mathbf{m}-3\mathbf{a}=3(\mathbf{m}-\mathbf{a})=3\overrightarrow{AM}.$ 故 $m=3$，选 B. （注：$M$ 即 $△ABC$ 的重心，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AM}$ 是重心的常用向量式.）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理求角

核心方法：由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 代入边长关系定 $m$

避坑指南：$a=3,b=2\sqrt{6}$，由 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 与已知角关系反解参数 $m=3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理是”边角互化”的第一工具。

结论推广：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，已知两角一边或两边一角（非夹角）时首选。

方法推广：用正弦定理时注意”大边对大角”，避免出现两解漏判或误判。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-08 单-向量中点
• 2011-上海卷文-18 单-向量和与重心
• 2009-陕西卷文-08 单-向量中点数量积
• 2009-湖南卷文-04 单-中点向量和