2010-湖南卷文-07 单-余弦定理比边

本题导读

考查余弦定理。$\cos C=-\frac{1}{2}$ 即 $c^2=a^2+b^2+ab$，代入 $c=\sqrt{2}a$ 得 $a^2-ab-b^2=0$，解得 $\frac{a}{b}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}>1$，故 $a>b$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边长分别为 $a$，$b$，$c$，若 $\angle C=120^{\circ }$，$c=\sqrt{2}a$，则()

A. $a>b$　　B. $a<b$　　C. $a=b$　　D. $a$ 与 $b$ 的大小关系不能确定

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\cos C=\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$，由余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=a^2+b^2+ab$。
2. 代入 $c^2=2a^2$ 得齐次方程，令 $t=\frac{a}{b}$ 判定 $t$ 与 $1$ 的大小。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

由余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$. 因 $\angle C=120^{\circ }$，$\cos C=-\frac{1}{2}$，故 $c^2=a^2+b^2+ab$. 又 $c=\sqrt{2}a$，$c^2=2a^2$，代入得 $2a^2=a^2+b^2+ab$，即 $a^2-ab-b^2=0.$ 两边同除以 $b^2$，令 $t=\frac{a}{b}>0$，得 $t^2-t-1=0$，解得 $t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（负根舍去）. 由 $t>1$ 知 $a>b$. 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理比较边的大小

核心方法：$\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ 代入得 $c^2=a^2+b^2+ab$，与 $c^2=2a^2$ 联立出齐次方程

避坑指南：$c=\sqrt{2}a$ 必须平方后使用；$a^2-ab-b^2=0$ 的正根 $t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（黄金比），别把负根也留下；$t>1$ 才有 $a>b$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“角定边比”问题，余弦定理 + 齐次方程是标准通道。

结论推广：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$；代入特殊角后常得关于 $\frac{a}{b}$ 的一元二次方程。

方法推广：比较 $a$ 与 $b$ 等价于比较比值 $t=\frac{a}{b}$ 与 1，齐次化后解 $t$ 即可，避免讨论角度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-07 单-正弦定理
• 2011-浙江卷文-05 单-正弦定理边角互化
• 2011-重庆卷文-08 单-正弦余弦定理定边
• 2009-福建卷文-07 单-解三角形面积求角