2010-福建卷理-20 解-几何证明

本题导读

本题为导数与积分综合压轴题，重点考查三次函数切线的交点性质、封闭图形面积的定积分计算，以及由特例向一般三次函数的类比推广与严格证明。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(理)） (1) 已知函数 $f(x)=x^3-x$，其图象记为曲线 $C$. ① 求函数 $f(x)$ 的单调区间； ② 证明：若对于任意非零实数 $x_1$，曲线 $C$ 与其在点 $P_1(x_1,f(x_1))$ 处的切线交于另一点 $P_2(x_2,f(x_2))$，曲线 $C$ 与其在点 $P_2(x_2,f(x_2))$ 处的切线交于另一点 $P_3(x_3,f(x_3))$，线段 $P_1{P}_2$, $P_2{P}_3$ 与曲线 $C$ 所围成封闭图形的面积分别记为 $S_1,S_2$，则 $\frac{S_1}{S_2}$ 为定值；

(2) 对于一般的三次函数 $g(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ($a\ne 0$)，请给出类似于 (1) ② 的正确命题，并予以证明.

🔍【思路分析】

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1. 对于 (1) ①：对 $f(x)$ 求导，通过 $f^{\prime }(x)$ 的正负确定函数的单调增减区间。
2. 对于 (1) ②：写出 $P_1$ 处的切线方程并与 $f(x)$ 联立，求出交点横坐标满足 $x_2=-2x_1$；用定积分计算切线与曲线围成的面积 $S_1=\frac{27}{4}{x}_1^4$，同理得出 $S_2=\frac{27}{4}{x}_2^4=16S_1$，从而求得定值比为 $\frac{1}{16}$。
3. 对于 (2)：将结论推广到一般三次函数，借助三次函数的对称中心（拐点 $x_0=-\frac{b}{3a}$）改写切线交点关系为 $x_2-x_0=-2(x_1-x_0)$，证明面积比仍为定值 $\frac{1}{16}$。

✅【答案】

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（1）（i）在⎛⎜⎝

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： ① 求导得：$f^{\prime }(x)=3x^2-1$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$。

• 当 $x\in \left(-\infty ,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ 或 $x\in \left(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty \right)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；
• 当 $x\in \left(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$。

所以，$f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(-\infty ,-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ 和 $\left(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty \right)$； 单调递减区间为 $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$。

② 证明： 曲线 $C$ 在点 $P_1(x_1,f(x_1))$ 处的切线斜率为 $k=f^{\prime }(x_1)=3x_1^2-1$，切线方程为： $y-(x_1^3-x_1)=(3x_1^2-1)(x-x_1)$

联立切线与曲线方程 $y=x^3-x$ 得： $x^3-x-(x_1^3-x_1)=(3x_1^2-1)(x-x_1)$ $(x-x_1)(x^2+x_{1}x+x_1^2-1)=(3x_1^2-1)(x-x_1)$

因为 $x\ne x_1$，两边约去 $(x-x_1)$ 得： $x^2+x_{1}x+x_1^2-1=3x_1^2-1⟹x^2+x_{1}x-2x_1^2=0⟹(x-x_1)(x+2x_1)=0$

解得交点 $P_2$ 的横坐标为 $x_2=-2x_1$。 同理，曲线在 $P_2$ 处的切线交曲线于 $P_3$，其横坐标为 $x_3=-2x_2=4x_1$。

计算切线段 $P_1{P}_2$ 与曲线 $C$ 围成的图形面积 $S_1$： $S_1=\left|{\int }_{x_1}^{x_2}[f(x)-\text{切线方程}]dx\right|=\left|{\int }_{x_1}^{-2x_1}(x-x_1{)}^2(x+2x_1)dx\right|$

设 $t=x-x_1$，则 $x+2x_1=t+3x_1$，$dx=dt$： $S_1=\left|{\int }_0^{-3x_1}{t}^2(t+3x_1)dt\right|=\left|{\left[\frac{t^4}{4}+x_1{t}^3\right]}_0^{-3x_1}\right|=\left|\frac{81x_1^4}{4}-27x_1^4\right|=\frac{27}{4}{x}_1^4$

同理可得： $S_2=\frac{27}{4}{x}_2^4=\frac{27}{4}(-2x_1{)}^4=16\times \frac{27}{4}{x}_1^4=16S_1$

所以 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{S_1}{16S_1}=\frac{1}{16}$，为定值。

(2) 推广与证明：

类比命题： 对于一般的三次函数 $g(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ($a\ne 0$)，其对称中心（拐点）的横坐标为 $x_0=-\frac{b}{3a}$。若对于任意不等于 $x_0$ 的实数 $x_1$，曲线 $C^{\prime }:y=g(x)$ 与其在点 $P_1(x_1,g(x_1))$ 处的切线交于另一点 $P_2(x_2,g(x_2))$，曲线 $C^{\prime }$ 与其在点 $P_2(x_2,g(x_2))$ 处的切线交于另一点 $P_3(x_3,g(x_3))$，线段 $P_1{P}_2,P_2{P}_3$ 与曲线 $C^{\prime }$ 所围成封闭图形的面积分别记为 $S_1,S_2$，则 $\frac{S_1}{S_2}$ 为定值 $\frac{1}{16}$。

证明： 设 $P_1(x_1,g(x_1))$，切线方程为 $y=g^{\prime }(x_1)(x-x_1)+g(x_1)$。 联立曲线方程与切线方程： $g(x)-[g^{\prime }(x_1)(x-x_1)+g(x_1)]=0$

此三次方程在 $x=x_1$ 处切点为重根，设另一点为 $x_2$，故方程可化为： $a(x-x_1{)}^2(x-x_2)=0$

展开展开式中 $x^2$ 项系数，对比原方程 $a{x}^3+b{x}^2+\cdots =0$，由韦达定理得： $2x_1+x_2=-\frac{b}{a}⟹x_2=-\frac{b}{a}-2x_1$

引入拐点横坐标 $x_0=-\frac{b}{3a}$（即 $-\frac{b}{a}=3x_0$），上式可化为： $x_2=3x_0-2x_1⟹x_2-x_0=-2(x_1-x_0)$

同理，$x_3-x_0=-2(x_2-x_0)=4(x_1-x_0)$。

线段 $P_1{P}_2$ 与曲线 $C^{\prime }$ 围成的面积为： $S_1=\left|{\int }_{x_1}^{x_2}a(x-x_1{)}^2(x-x_2)dx\right|=\frac{|a|}{12}(x_2-x_1{)}^4$

因为 $x_2-x_1=(x_2-x_0)-(x_1-x_0)=-3(x_1-x_0)$， 代入可得： $S_1=\frac{|a|}{12}[-3(x_1-x_0){]}^4=\frac{27}{4}|a|(x_1-x_0{)}^4$

同理可得： $S_2=\frac{27}{4}|a|(x_2-x_0{)}^4=\frac{27}{4}|a|[-2(x_1-x_0){]}^4=16\times \frac{27}{4}|a|(x_1-x_0{)}^4=16S_1$

故 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{16}$ 为定值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：切线与曲线交点求解、定积分求面积、三次函数对称性（拐点）与一般化证明。
2. 核心方法：

• 巧用三次方程韦达定理求切线割点：$2x_1+x_2=-\frac{b}{a}$；
• 引入拐点坐标 $x_0=-\frac{b}{3a}$ 平移坐标系，将一般式简化为齐次形式。

3. 避坑指南：第 (2) 问给出命题时，切记排除拐点横坐标（即 $x_1\ne -\frac{b}{3a}$），因为在拐点处的切线为穿过曲线的切线，不再产生第二个交点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高等数学中“阿基米德抛物线弓形面积公式”在三次曲线上的推广（三次曲线割线与切线围成的面积公式 $S=\frac{|a|}{12}|x_2-x_1{|}^4$）。
2. 结论推广: 任意三次函数切线与曲线交点的横坐标按 $x_{n+1}-x_0=-2(x_n-x_0)$ 递推，相邻两割线围成图形的面积比恒为 $\frac{S_n}{S_{n+1}}=\frac{1}{16}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较