2010-重庆卷理-18 解-几何证明

本题导读

本题是一道以导数微积分为核心工具的函数综合题。第一问考查导数的几何意义，通过求出切点坐标和切线斜率直接确定直线方程；第二问考查极值点的必要条件，通过先确定参数的值，再结合函数的定义域全面讨论其单调区间。

📌【题干】

Question

（2010年重庆卷(理)） 已知函数 $f(x)=\frac{x-1}{x+a}+\ln (x+1)$，其中实数 $a\ne 1$.

(1)若 $a=2$，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；

(2)若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，试讨论 $f(x)$ 的单调性.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：确定 $a=2$ 时的解析式。先求出 $f(0)$ 得到切点，再对 $f(x)$ 求导，计算 $f^{\prime }(0)$ 作为切线斜率，利用点斜式写出方程。

2. 第二问：由 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，可知 $f^{\prime }(1)=0$（必要条件），由此方程解出参数 $a$。回代 $a$ 的值后，注意因分母含有零点，需结合对数定义域对 $f^{\prime }(x)$ 进行分段符号判断，最终归纳出单调区间。

点击查看答案

$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-1,1)$ 和 $(7,+\infty )$；单调递减区间为 $(1,3)$ 和 $(3,7)$

✍【详细解析】

Abstract

解：由题意，知函数 $f(x)$ 的定义域需满足 $x+1>0$ 且 $x+a\ne 0$，即 $x>-1$ 且 $x\ne -a$。 对 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x+a)-(x-1)\cdot 1}{(x+a{)}^2}+\frac{1}{x+1}=\frac{a+1}{(x+a{)}^2}+\frac{1}{x+1}$。

（1）当 $a=2$ 时，函数 $f(x)=\frac{x-1}{x+2}+\ln (x+1)$， 切点的纵坐标为 $f(0)=\frac{0-1}{0+2}+\ln 1=-\frac{1}{2}$，即切点为 $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$。 将 $a=2$ 代入导函数式得 $f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+2{)}^2}+\frac{1}{x+1}$， 则切线的斜率为 $k=f^{\prime }(0)=\frac{3}{(0+2{)}^2}+\frac{1}{0+1}=\frac{3}{4}+1=\frac{7}{4}$。 故曲线在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程为： $y-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{4}(x-0)⟹y+\frac{1}{2}=\frac{7}{4}x⟹7x-4y-2=0$。

（2）若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，则 $f^{\prime }(1)=0$。 代入 $x=1$ 得： $f^{\prime }(1)=\frac{a+1}{(1+a{)}^2}+\frac{1}{1+1}=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{2}=0$， 解得 $a=-3$。 此时，由于 $x\ne -a⟹x\ne 3$， 结合 $x>-1$，可得此时函数的定义域为 $(-1,3)\cup (3,+\infty )$。 将 $a=-3$ 回代入导函数中化简： $f^{\prime }(x)=\frac{-2}{(x-3{)}^2}+\frac{1}{x+1}=\frac{-2(x+1)+(x-3{)}^2}{(x-3{)}^2(x+1)}=\frac{x^2-8x+7}{(x-3{)}^2(x+1)}=\frac{(x-1)(x-7)}{(x-3{)}^2(x+1)}$。 在定义域 $(-1,3)\cup (3,+\infty )$ 内，分母 $(x-3{)}^2(x+1)>0$ 恒成立， 故 $f^{\prime }(x)$ 的符号完全由分子 $(x-1)(x-7)$ 决定。 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x=1$ 或 $x=7$。 各区间内导数符号及单调性变化如下表所示：

$x$	$(-1,1)$	1	$(1,3)$	3	$(3,7)$	7	$(7,+\infty )$
$f^{\prime }(x)$	$+$	0	$-$	不存在	$-$	0	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	极大值	$\searrow$	不存在	$\searrow$	极小值	$\nearrow$

由上表可知，$x=1$ 确为函数的极大值点，符合题意。 综上所述，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-1,1)$ 和 $(7,+\infty )$；单调递减区间为 $(1,3)$ 和 $(3,7)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：切线横纵坐标与导数几何意义的对应；极值点导数值为0的性质；单调区间的求法。
2. 核心方法：公式法求导，通过分子因式分解判断导数正负符号的通法。
3. 避坑指南：

• 第二问中，由于 $a=-3$，函数在 $x=3$ 处无意义，定义域被间断点 3 截断。在写单调减区间时，切不可盲目写成 $(1,7)$，必须将无意义的点 3 挖去，独立写成 $(1,3)$ 和 $(3,7)$。

• 极值点导数为 0 是必要条件，求出 $a=-3$ 后必须回代列表验证其符号是否发生改变，以确保步骤完整严谨。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中利用导数研究函数性质的常规综合大题。设计技巧在于引入了令分母为零的动态断点 $-a$，加深了对定义域限制的考查。

2. 结论推广：对于包含有理分式与对数函数复合的结构 $g(x)=\frac{x-1}{x+a}+\ln (x+1)$，其导数通分后分子多为二次函数，其单调性的多区间划分完全由二次方程根的位置与定义域边界（以及渐近线）的相对大小决定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较