2010-陕西卷理-13 填-几何概型

本题导读

本题考查结合定积分计算不规则图形面积，并利用几何概型概率公式求解点落入阴影部分的概率。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(理)） 从如图所示的长方形区域内任取一个点 $M(x,y)$，则点 $M$ 取自阴影部分的概率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察图象确定矩形区域边长：$x\in [0,1]$，纵坐标最高点为 $y=3\times 1^2=3$，矩形面积 $S_{\text{总}}=1\times 3=3$。
2. 利用定积分计算曲边梯形（阴影部分）的面积 $S_{\text{阴影}}={\int }_0^{1}3x^2\mathrm{d}x$。
3. 代入几何概型公式 $P=\frac{S_{\text{阴影}}}{S_{\text{总}}}$。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求长方形区域总面积 长方形的底边长为 $1$，高为 $3$（抛物线 $y=3x^2$ 在 $x=1$ 处的纵坐标为 $y=3$）。 长方形总面积为： $S_{\text{总}}=1\times 3=3$

第二步：利用定积分求阴影部分面积 阴影部分是由 $y=3x^2$、直线 $x=1$ 和 $x$ 轴所围成的曲边梯形： $S_{\text{阴影}}={\int }_0^{1}3x^2\mathrm{d}x={\left[x^3\right]}_0^1=1^3-0^3=1$

第三步：计算概率 根据几何概型概率计算公式： $P=\frac{S_{\text{阴影}}}{S_{\text{总}}}=\frac{1}{3}$

故答案为：$\frac{1}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定积分求曲边梯形面积与几何概型（面积比）。
2. 核心方法：求出矩形总面积与积分阴影面积相除。
3. 避坑指南：注意矩形的高是由 $x=1$ 代入 $y=3x^2$ 算出的 $3$，切勿漏看矩形顶界。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：微积分在概率几何概型中的典型交叉应用题。
2. 结论推广：抛物线 $y=a{x}^n(x\in [0,x_0])$ 围成的面积恰好占对应外接矩形面积的 $\frac{1}{n+1}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

$23$

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷理-07 单-几何概型
• 2011-江西卷理-12 填-几何概型
• 2011-湖南卷文-15 填-圆与直线几何概型