2011-上海卷理-04 填-奇函数

本题导读

本题考查分式不等式的解法，以及一元二次不等式。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 不等式 $\frac{x+1}{x}⩽3$ 的解集为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 不等式移项：$\frac{x+1}{x}-3⩽0$。
2. 通分化简：$\frac{1-2x}{x}⩽0$。
3. 等价转化为整式不等式 $(2x-1)x⩾0$ 且 $x\ne 0$，写出解集。

✅【答案】

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$(-\infty ,0)\cup \left[\frac{1}{2},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

移项通分得： $\frac{x+1}{x}-3⩽0⟹\frac{x+1-3x}{x}⩽0⟹\frac{1-2x}{x}⩽0$ 两边同乘以 $-1$，改变不等号方向： $\frac{2x-1}{x}⩾0$ 等价于： $\{\begin{array}{l}(2x-1)x⩾0\\ x\ne 0\end{array}$ 解得： $x<0\text{或}x⩾\frac{1}{2}$ 以区间形式表示为 $(-\infty ,0)\cup \left[\frac{1}{2},+\infty \right)$。 故答案为：$(-\infty ,0)\cup \left[\frac{1}{2},+\infty \right)$（或 $\left\{x|x<0\text{ 或 }x⩾\frac{1}{2}\right\}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分式不等式的移项、通分与等价整式转化。
• 核心方法：不能直接去分母乘 $x$（因 $x$ 符号未知），必须移项通分化为标准商式 $\frac{P(x)}{Q(x)}⩽0$。
• 避坑指南：分母不能为零，即 $x\ne 0$，因此 0 处必须为开区间，切勿写成 $x⩽0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高中数学必修五一元二次不等式与分式不等式的基本题型。
• 结论推广：分式不等式 $\frac{ax+b}{cx+d}⩽k$ 统一通过移项通分转化为 $(ax+b-kcx-kd)(cx+d)⩽0$ 且 $cx+d\ne 0$ 求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1977-福建卷-02(1)
• 2001-豫粤卷-01 单-分式不等式的解法
• 2006-山东卷理-08 单-充分条件与必要条件的判定