2011-上海卷理-13 填-函数周期性

本题导读

本题考查函数的周期性定义，以及函数在闭区间上的值域与最值。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)）

设 $g(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上，以 1 为周期的函数，若函数 $f(x)=x+g(x)$ 在区间 $[3,4]$ 上的值域为 $[-2,5]$，则 $f(x)$ 在区间 $[-10,10]$ 上的值域为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 因为 $g(x)$ 以 1 为周期，所以 $g(x)$ 在任意长度为 1 的闭区间上的取值集合相同。特别地，$g(x)$ 在 $[3,4]$ 上与在 $[0,1]$ 乃至整个 $\mathbf{R}$ 上的值域完全相同。

2. 由 $f(x)=x+g(x)$ 在 $[3,4]$ 上值域为 $[-2,5]$，确定 $g(x)$ 的上界 $M$ 与下界 $m$：

• 考虑区间两端和内部，由 $f(x)-x=g(x)$ 分离求出 $g(x)$ 的确切极值；

• 实际上，将区间 $[-10,10]$ 拆解为多个长度为 1 的单元区间 $[k,k+1]$，在每个单元区间上 $x\in [k,k+1]$，此时 $f(x)=x+g(x)$ 的整体最小值在最左端区间取得，最大值在最右端区间取得。

3. 利用整体平移跨度直接计算端点区间的最值，求出完整值域。

✅【答案】

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$[-15,11]$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $g(x)$ 的周期为 1，所以对任意整数 $k\in \mathbf{Z}$ 及 $x\in [k,k+1]$，均有 $x-k\in [0,1]$ 且 $g(x)=g(x-k)$。

因此，对于任意区间 $[k,k+1]$，函数 $g(x)$ 的取值范围均相同。

设 $x\in [k,k+1]$，令 $t=x-k\in [0,1]$，则：

$f(x)=x+g(x)=k+t+g(t)=k+f(t)$

已知当 $x\in [3,4]$ 时，$k=3$，函数 $f(x)=3+t+g(t)\in [-2,5]$。

由此可得，当 $t\in [0,1]$ 时：

$t+g(t)\in [-2-3,5-3]=[-5,2]$

现考查 $x\in [-10,10]$：

区间 $[-10,10]$ 可以表示为 20 个单位区间的并集：

$[-10,10]={\bigcup }_{k=-10}^9[k,k+1]$

在每个子区间 $[k,k+1]$ 上，$x=k+t$（$t\in [0,1]$），函数为：

$f(x)=k+[t+g(t)]$

因为 $t+g(t)\in [-5,2]$，所以：

$f(x)\in [k-5,k+2]$

当 $k$ 从 $-10$ 连续遍历到 9 时：

• 函数取得的全局最小值为 $k=-10$ 时的下界：

$f(x{)}_{\min }=-10-5=-15$

• 函数取得的全局最大值为 $k=9$（此时 $k+1=10$，对应区间 $[9,10]$）时的上界：

$f(x{)}_{\max }=9+2=11$

由于 $f(x)$ 的取值区间随 $k$ 递增 1 逐步平移且相互重叠连通（$[k-5,k+2]$ 与 $[k-4,k+3]$ 相交），其并集为一连续整区间：

${\bigcup }_{k=-10}^9[k-5,k+2]=[-15,11]$

故 $f(x)$ 在区间 $[-10,10]$ 上的值域为 $[-15,11]$。

故答案为：$[-15,11]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：周期函数的代数性质、分段平移求值域、区间并集连续覆盖。

• 核心方法：分离变量法（令 $t+g(t)=f(x)-k$），将长区间分解为单位周期长度的有限个小区间求极值。

• 避坑指南：

• 最大值发生在最右侧区间 $[9,10]$，对应 $k=9$，最大值为 $9+2=11$（不要误代入 $k=10$ 算出 12）；

• 最小值发生在最左侧区间 $[-10,-9]$，对应 $k=-10$，最小值为 $-10-5=-15$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高等数学中“拟周期函数（Quasi-periodic function）”与具有单调漂移项的周期扰动模型。

• 结论推广：若 $g(x)$ 周期为 $T$，$f(x)=x+g(x)$ 在 $[a,a+T]$ 上的值域为 $[m,M]$，则 $f(x)$ 在 $[a+pT,a+qT]$（$p,q\in \mathbf{Z},p<q$）上的值域为 $[m+pT,M+(q-1)T]$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷理-06

• 1996-全国卷理-15

• 2005-天津卷理-16 填-奇函数零点性质