2011-北京卷理-06 单-分段函数

本题导读

本题考查分段函数的解析式与求值，以及函数方程与方程组求解。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(理)）

根据统计，一名工人组装第 $x$ 件某产品所用的时间（单位：分钟）为

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{c}{\sqrt{x}},& x<A\\ \frac{c}{\sqrt{A}},& x⩾A\end{array}$

（$A,c$ 为常数）.已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第 $A$ 件产品用时 15 分钟，那么 $c$ 和 $A$ 的值分别是 ()

A. 75, 25　　　　B. 75, 16　　　　C. 60, 25　　　　D. 60, 16

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据定义，$A$ 件产品用时为 $f(A)=\frac{c}{\sqrt{A}}=15$。

2. 第 4 件产品在 $4<A$ 的段上，得 $f(4)=\frac{c}{\sqrt{4}}=30$，由此解得 $c$。

3. 将 $c$ 代入 $f(A)$ 中解得 $A$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：

由题意，组装第 $A$ 件产品用时 15 分钟，代入解析式得：

$f(A)=\frac{c}{\sqrt{A}}=15$

因为组装第 4 件产品用时 30 分钟，且 $4<A$，代入第一段解析式得：

$f(4)=\frac{c}{\sqrt{4}}=\frac{c}{2}=30⟹c=60$

将 $c=60$ 代入 $\frac{c}{\sqrt{A}}=15$ 得：

$\frac{60}{\sqrt{A}}=15⟹\sqrt{A}=4⟹A=16$

经检验，$4<16$ 满足题意。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分段函数的代入求值与方程求解。

• 核心方法：对应段代入法。

• 避坑指南：代入第 4 件产品时需确认 $4<A$，求出 $A$ 后需进行合理性检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自函数模型与应用基础题。

• 结论推广：分段函数求值需先判定自变量所在区间，再选择相应解析式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2004-浙江理-13 填-分段函数

• 2005-浙江卷理-03 单-分段函数

• 2006-山东卷理-03 单-对数不等式的解法