2011-四川卷理-05 单-函数

本题导读

本题考查函数在某点连续的定义，以及函数在某点有定义的含义。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(理)） “函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处有定义”是“$f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续”的 ()

A. 充分而不必要的条件　　　　　　　B. 必要而不充分的条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要的条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 函数在点 $x=x_0$ 处连续的定义为：

• (1) $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处有定义；
• (2) 极限 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在；
• (3) ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。

2. 由定义显然可知：“连续”能推出“有定义”，但“有定义”不能推出“连续”（例如跳跃间断点或可去间断点处均有定义但不连续）。
3. 判定其为“必要而不充分条件”。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

根据函数在某点连续的定义： 如果函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续，则必须同时满足极限 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在且等于函数值 $f(x_0)$， 这首先要求函数在 $x=x_0$ 处必须有定义。 因此，“$f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续” $⟹$ “$f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处有定义”，即必要性成立。

反之，若函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处有定义，但极限 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 可能不存在，或者虽然极限存在但不等于 $f(x_0)$。 例如符号函数： $f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x⩾0\\ -1,& x<0\end{array}$ 在 $x=0$ 处 $f(0)=1$ 有定义，但在 $x=0$ 处不连续。 因此，“$f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处有定义” $\text{centernot}⟹$ “$f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续”，即充分性不成立。

综上，“函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处有定义”是“$f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续”的必要而不充分的条件。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：函数连续的三个核心要素、充分条件与必要条件的判定。
• 核心方法：
• 概念逻辑拆解：连续包含有定义、有极限、极限等于值三个充要条件；
• 构造反例法：分段函数间断点即可破坏充分性。
• 避坑指南：分清条件与结论的逻辑前后顺序，题干问的是“有定义”是“连续”的什么条件，由“结论推条件”故为必要条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版选修2-2微积分初步第一节中关于函数连续性概念的基础考查。
• 结论推广：在拓扑学与微积分中，定义域点集是讨论连续性的底层载体，但连续性强约束了局部邻域内的渐近逼近性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-06 单-充分必要条件的传递
• 1987-全国卷理-04 单-充分条件与必要条件