2011-四川卷理-13 填-对数

本题导读

本题考查对数的运算性质，以及有理数指数幂的运算法则。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(理)） 计算 $\left(\lg \frac{1}{4}-\lg 25\right)÷100^{-\frac{1}{2}}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用对数的运算法则化简括号内：$\lg \frac{1}{4}-\lg 25=\lg \left(\frac{1}{4}÷25\right)=\lg \frac{1}{100}=-2$。
2. 计算负分数指数幂：$100^{-\frac{1}{2}}=(10^2{)}^{-\frac{1}{2}}=10^{-1}=\frac{1}{10}$。
3. 计算两数相除的结果。

✅【答案】

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$-20$

✍【详细解析】

Abstract

首先化简被除数： $\lg \frac{1}{4}-\lg 25=\lg \left(\frac{\frac{1}{4}}{25}\right)=\lg \frac{1}{100}=\lg (10^{-2})=-2$ 再化简除数： $100^{-\frac{1}{2}}=(10^2{)}^{-\frac{1}{2}}=10^{-1}=\frac{1}{10}$ 最后计算除法： $\left(\lg \frac{1}{4}-\lg 25\right)÷100^{-\frac{1}{2}}=(-2)÷\frac{1}{10}=-2\times 10=-20$ 故答案为：$-20$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：对数商的性质 $\lg M-\lg N=\lg \frac{M}{N}$、负分数指数幂 $a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$。
• 核心方法：分别化简括号内对数差与指数除数，再进行整除运算。
• 避坑指南：计算 $\frac{1}{4\times 25}=\frac{1}{100}$ 时注意负号，避免错算为 $\lg 100=2$；注意最后一步是除以 $\frac{1}{10}$ 而非乘以 $\frac{1}{10}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版必修一指数与对数运算基础训练题。
• 结论推广：形如 $(\lg a-\lg b)÷10^c$ 均可统一化为以 10 为底的指数对数同构计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-江苏卷-01(4)
• 1980-全国卷理-04
• 1988-全国卷理-23 解-对数式大小比较