2011-大纲卷理-02 单-反函数

本题导读

本题考查反函数的求解，以及反函数的定义域与原函数值域的关系。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)） 函数 $y=2\sqrt{x}(x⩾0)$ 的反函数为 ()

A. $y=\frac{x^2}{4}(x\in \mathbf{R})$　　　　　　　　　　　　　　B. $y=\frac{x^2}{4}(x⩾0)$

C. $y=4x^2(x\in \mathbf{R})$　　　　　　　　　　　　　　D. $y=4x^2(x⩾0)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由原函数解析式反解出自变量 $x$。
2. 求出原函数的值域，以此作为反函数的定义域。
3. $x,y$ 互换并标明反函数定义域。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由原函数 $y=2\sqrt{x}$ ($x⩾0$)， 两边除以 $2$ 得 $\sqrt{x}=\frac{y}{2}$， 两边平方得 $x=\frac{y^2}{4}$。 因为 $x⩾0$，所以 $y=2\sqrt{x}⩾0$，即原函数的值域为 $[0,+\infty )$。 将 $x,y$ 互换，得到反函数为 $y=\frac{x^2}{4}$ ($x⩾0$)。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：反函数的求解步骤（一反解、二定域、三互换）。
• 核心方法：反解自变量与定义域/值域互换。
• 避坑指南：切记反函数的定义域是原函数的值域，漏写或错写定义域会导致误选 (A)。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于函数与其反函数一一映射的概念辨析。
• 结论推广：单调函数 $y=f(x)$（$x\in D$）的值域为 $R_f$，则其反函数为 $y=f^{-1}(x)$（$x\in R_f$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-04 填-反函数求解析式
• 2008-北京卷文-05 单-受限反函数
• 2008-四川卷文-02 单-对数型反函数