2011-大纲卷理-05 单-图象变换

本题导读

本题考查三角函数的图象平移变换，以及余弦函数的周期性。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)）

设函数 $f(x)=\cos \omega x(\omega >0)$，将 $y=f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 $\omega$ 的最小值等于 ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $9$

🔍【思路分析】

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1. 平移后的图象与原图象重合，说明平移量 $\frac{\pi }{3}$ 必须为该函数周期的正整数倍。

2. 周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$，列出方程 $\frac{\pi }{3}=kT$ ($k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)。

3. 求解 $\omega$ 的表达式并确定其最小值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

根据图象平移“左加右减”原则，将 $y=\cos \omega x$ 的图象向右平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度，所得图象对应的解析式为：

$y=\cos \left[\omega \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\right]=\cos \left(\omega x-\frac{\omega \pi }{3}\right)$。

因为所得图象与原图象重合，所以平移的距离 $\frac{\pi }{3}$ 必为函数 $f(x)$ 周期的正整数倍，

即存在正整数 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，使得：

$\frac{\pi }{3}=kT=k\cdot \frac{2\pi }{\omega }$。

解得：

$\omega =6k$ ($k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$)。

因为 $\omega >0$，取 $k=1$ 时，$\omega$ 取得最小值：

${\omega }_{\min }=6$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三角函数图象平移变换规律、余弦函数的周期性。

• 核心方法：若平移后的图象重合，则位移量 $\Delta x=kT$（其中 $k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$）。

• 避坑指南：平移变换是对自变量 $x$ 进行的，务必保证带括号代入：$\omega (x-\frac{\pi }{3})$；切莫把半周期误认为全周期（即余弦函数的平移必须是整周期才能完全重合）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于周期函数的严格代数定义：$f(x+T)=f(x)$ 的几何平移表述。

• 结论推广：函数 $y=A\cos (\omega x+\phi )$ 的图象向左或向右平移 $d$ 个单位后与原图象重合的充要条件为 $d=k\cdot \frac{2\pi }{\omega }$ ($k\in \mathbf{Z}$)。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1991-全国卷理-03

• 1996-全国卷理-15

• 2005-天津卷理-16 填-奇函数零点性质