2011-大纲卷理-08 单-导数

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及切线方程的求解。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)） 曲线 $y={\mathrm{e}}^{-2x}+1$ 在点 $(0,2)$ 处的切线与直线 $y=0$ 和 $y=x$ 围成的三角形的面积为 ()

A. $\frac{1}{3}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $\frac{2}{3}$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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1. 求导 $y^{\prime }$，代入 $x=0$ 求得切线斜率 $k$。
2. 写出过点 $(0,2)$ 的切线方程。
3. 联立切线方程分别与 $y=0$ 及 $y=x$ 求交点坐标。
4. 计算三个交点围成的三角形面积。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

对曲线 $y={\mathrm{e}}^{-2x}+1$ 求导，得 $y^{\prime }=-2{\mathrm{e}}^{-2x}$。 在点 $(0,2)$ 处，切线的斜率为 $k=y^{\prime }{|}_{x=0}=-2{\mathrm{e}}^0=-2$。 所以切线方程为 $y-2=-2(x-0)$，即 $y=-2x+2$。 接下来求该切线与直线 $y=0$、$y=x$ 的交点。 (1) 切线与 $y=0$ ($x$ 轴)的交点： 令 $-2x+2=0⟹x=1$，交点为 $A(1,0)$。 (2) 切线与 $y=x$ 的交点： 令 $-2x+2=x⟹3x=2⟹x=\frac{2}{3}$。 将 $x=\frac{2}{3}$ 代入 $y=x$，得 $y=\frac{2}{3}$，交点为 $B\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$。 (3) 直线 $y=0$ 与 $y=x$ 的交点显然为原点 $O(0,0)$。 于是围成的三角形为 $△OAB$。 以 $OA$ 为底，则底长 $|OA|=1$， 点 $B$ 到 $x$ 轴的距离为高 $h=\frac{2}{3}$。 所以三角形的面积 $S=\frac{1}{2}\times |OA|\times h=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数求切线，直线围成的三角形面积。
• 核心方法：求复合函数导数，求交点并利用水平边作底求面积。
• 避坑指南：求导数时注意复合函数的链式法则，$({\mathrm{e}}^{-2x}{)}^{\prime }=-2{\mathrm{e}}^{-2x}$，切勿遗漏负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：基础的解析几何与微积分结合题。
• 结论推广：若切线方程为 $y=kx+b$，其与直线 $y=0$ 和 $y=x$ 围成的三角形，只要找到三个顶点即可，其面积也可利用公式 $S=\frac{1}{2}\frac{b^2}{|k(1-k)|}$ 计算（$k\ne 0,1$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2004-广东卷理-19 解-绝对值函数的图象与分段性质
• 2006-湖南卷理-13 填-三角形的面积计算
• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值