2011-大纲卷理-09 单-分段函数

本题导读

本题考查奇偶性与周期性结合，以及分段函数求值。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)） 设 $f(x)$ 是周期为 $2$ 的奇函数，当 $0⩽x⩽1$ 时，$f(x)=2x(1-x)$，则 $f\left(-\frac{5}{2}\right)=$ ()

A. $-\frac{1}{2}$　　　　　　B. $-\frac{1}{4}$　　　　　　C. $\frac{1}{4}$　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 利用周期性 $T=2$ 将未知变量 $-\frac{5}{2}$ 转化到 $(-1,1)$ 或 $[0,1]$ 范围内。
2. 利用奇函数性质 $f(-x)=-f(x)$ 进一步转化。
3. 代入已知区间上的解析式求值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是周期为 $2$ 的函数，所以 $f\left(-\frac{5}{2}\right)=f\left(-\frac{5}{2}+2\times 1\right)=f\left(-\frac{1}{2}\right)$。 因为 $f(x)$ 是奇函数，所以 $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-f\left(\frac{1}{2}\right)$。 因为当 $0⩽x⩽1$ 时，$f(x)=2x(1-x)$， 所以 $f\left(\frac{1}{2}\right)=2\times \frac{1}{2}\times \left(1-\frac{1}{2}\right)=1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。 因此，$f\left(-\frac{5}{2}\right)=-\frac{1}{2}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：周期函数性质 $f(x+kT)=f(x)$ 和奇函数性质 $f(-x)=-f(x)$。
• 核心方法：利用 $f(x)=f(x\pm kT)$ 逐步将自变量转移至已知解析式的定义区间。
• 避坑指南：必须明确各步转化的条件，切忌直接将负数代入仅适用于非负区间的解析式。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：抽象函数的周期性与奇偶性基础考查。
• 结论推广：若 $f(x)$ 为周期为 $T$ 的奇函数，则 $f\left(\frac{T}{2}\right)=f\left(-\frac{T}{2}\right)=0$，$f(0)=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷文-13 填-分段函数求值
• 2015-陕西卷文-04 单-分段函数
• 2021-浙江卷-12 填-分段函数求值