2011-天津卷文-13 填-圆幂定理求线段

本题导读

本题考查相交弦定理，以及切割线定理。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(文)） 如图，已知圆中两条弦 $AB$ 与 $CD$ 相交于点 $F$，$E$ 是 $AB$ 延长线上一点，且 $DF=CF=\sqrt{2}$，$AF:FB:BE=4:2:1$.若 $CE$ 与圆相切，则 $CE$ 的长为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：设 $BE=x$
2. 步骤2：由相交弦定理定 $x$
3. 步骤3：再用切割线定理求 $CE$

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{7}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $BE=x$，则 $FB=2x$，$AF=4x$。由相交弦定理 $AF\cdot FB=CF\cdot FD=2$，得 $8x^2=2$，$x=\frac{1}{2}$。

故 $BE=\frac{1}{2}$，$AB=AF+FB=6x=3$，$EA=EB+AB=\frac{7}{2}$。

由切割线定理 $C{E}^2=EB\cdot EA=\frac{1}{2}\times \frac{7}{2}=\frac{7}{4}$，故 $CE=\frac{\sqrt{7}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆幂定理（相交弦定理与切割线定理）

核心方法：按比例设元，相交弦定元，切割线定理算目标线段

避坑指南：$E$ 在 $AB$ 的延长线上，$EA=EB+BA$ 而不是 $BA-BE$；比例 $4:2:1$ 对应 $AF:FB:BE$ 的顺序不要错配。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆幂定理求线段与 2012-天津卷文-13、2012-广东卷文-15、2013-天津卷文-13 同族。

结论推广：推广：两弦交于圆内则 $AF\cdot FB=CF\cdot FD$；交点移到圆外（割线）则同为”起点到两交点距离之积”——统一为圆幂 $|R^2-OF{|}^2$ 视角。

方法推广：圆幂定理题：遇比例先设一份 $x$，再选合适的定理列方程；最后开方注意线段长为正。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-13 填-圆幂定理求线段
• 2012-广东卷文-15 填-圆幂定理求线段
• 2013-天津卷文-13 填-切割线定理求弦