2011-天津卷理-13 填-不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法与几何意义，以及基本不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(理)）

已知集合 $A=\{x\in \mathbf{R}\mid |x+3|+|x-4|⩽9\}$，$B=\left\{x\in \mathbf{R}\mid x=4t+\frac{1}{t}-6,t\in (0,+\infty )\right\}$，则集合 $A\cap B=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用绝对值几何意义或分段讨论解不等式 $|x+3|+|x-4|⩽9$，求出集合 $A$。

2. 利用基本不等式 $4t+\frac{1}{t}⩾2\sqrt{4t\cdot \frac{1}{t}}=4$ 求出集合 $B$ 的取值范围。

3. 求两集合的交集 $A\cap B$。

✅【答案】

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$[-2,5]$

✍【详细解析】

Abstract

对于集合 $A$：$|x+3|+|x-4|⩽9$。

由绝对值的几何意义，该不等式表示数轴上的点 $x$ 到 $-3$ 和 $4$ 的距离之和小于等于 9。

当 $x\in [-3,4]$ 时，$|x+3|+|x-4|=x+3+4-x=7⩽9$ 恒成立。

当 $x>4$ 时，$2x-1⩽9⟹x⩽5$，即 $x\in (4,5]$。

当 $x<-3$ 时，$1-2x⩽9⟹x⩾-4$，即 $x\in [-4,-3)$。

所以集合 $A=[-4,5]$。

对于集合 $B$：$x=4t+\frac{1}{t}-6$（$t>0$）。

由基本不等式得 $4t+\frac{1}{t}⩾2\sqrt{4t\cdot \frac{1}{t}}=4$（当且仅当 $4t=\frac{1}{t}⟹t=\frac{1}{2}$ 时取等号）。

因此 $x⩾4-6=-2$，即集合 $B=[-2,+\infty )$。

故 $A\cap B=[-4,5]\cap [-2,+\infty )=[-2,5]$。

故答案为：$[-2,5]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：绝对值不等式、基本不等式求最值、区间交集运算。

• 核心方法：几何法拆解绝对值、基本不等式“一正二定三相等”。

• 避坑指南：求集合交集时注意区间的闭开性边界。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高中数学集合与不等式基础综合训练题。

• 结论推广：形如 $|x-a|+|x-b|\le c$ 的不等式，当 $c\ge |a-b|$ 时解集为闭区间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2004-广东卷理-02 单-绝对值不等式的解法

• 2004-江苏卷-01 单-集合的表示方法

• 2005-上海卷理-14 单-绝对值不等式的解法