2011-天津卷理-14 填-向量

本题导读

本题考查平面向量的线性运算与几何意义，以及向量的重心公式与点到直线的距离。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(理)） 已知直角梯形 $ABCD$ 中，$AD\parallel BC$，$\angle ADC=90^{\circ }$，$AD=2$，$BC=1$，$P$ 是腰 $DC$ 上的动点，则 $|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}|$ 的最小值位$\underline{}$（注：题中横线后为所求最小值）.

🔍【思路分析】

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1. 引入点 $P_0$ 作为点 $A$（权 1）和点 $B$（权 3）的加权中心：$P_0=\frac{A+3B}{4}$。
2. 将 $\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}$ 化为 $4\overrightarrow{P{P}_0}$，原问题转化为求 $4|\overrightarrow{P{P}_0}|$ 的最小值。
3. 建立直角坐标系，求出 $P_0$ 的坐标及动点 $P$ 的轨迹方程（线段 $DC$），求点到线段的垂直距离。

✅【答案】

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5

✍【详细解析】

Abstract

以 $D$ 为坐标原点，$DC$ 所在的直线为 $x$ 轴，$DA$ 所在的直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系。 设 $DC=h$（$h>0$）。 则 $D(0,0)$，$A(0,2)$。 因为 $AD\parallel BC$，$\angle ADC=90^{\circ }$，故 $\angle DCB=90^{\circ }$。 又 $BC=1$，故 $C(h,0)$，$B(h,1)$。 设 $P$ 是腰 $DC$ 上的动点，则 $P(t,0)$（$0⩽t⩽h$）。 设 $P_0$ 为点 $A$ 和 $B$ 的加权中心，满足 $\overrightarrow{P_{0}A}+3\overrightarrow{P_{0}B}=\vec{0}$，则 $P_0$ 的坐标为： $P_0=\frac{A+3B}{1+3}=\frac{(0,2)+3(h,1)}{4}=\left(\frac{3h}{4},\frac{5}{4}\right)$ 于是： $\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}=(\overrightarrow{P_{0}A}-\overrightarrow{P_{0}P})+3(\overrightarrow{P_{0}B}-\overrightarrow{P_{0}P})=(\overrightarrow{P_{0}A}+3\overrightarrow{P_{0}B})-4\overrightarrow{P_{0}P}=4\overrightarrow{P{P}_0}$ 因此 $|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}|=4|\overrightarrow{P{P}_0}|$。 当 $P{P}_0\perp DC$（即垂线段）时，$|\overrightarrow{P{P}_0}|$ 取最小值。 $P_0$ 到 $DC$ 所在的直线（即 $x$ 轴）的距离为 $P_0$ 的纵坐标 $\frac{5}{4}$。 因为 $0⩽\frac{3h}{4}⩽h$，所以垂足在线段 $DC$ 上。 故 $|\overrightarrow{P{P}_0}{|}_{\min }=\frac{5}{4}$。 所以 $|\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}{|}_{\min }=4\times \frac{5}{4}=5$。 故答案为：5。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面向量线性运算的几何意义、加权中心（重心）法求最值。
• 核心方法：通过引入基点化简向量和、转化为点到直线的距离。
• 避坑指南：运用垂直距离求最值时，必须检验垂足是否落在给定的线段区间内。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考平面向量压轴小题中经典的“多倍向量和模的最值”几何模型。
• 结论推广：对于 $|\lambda \overrightarrow{PA}+\mu \overrightarrow{PB}|$ 型最值问题，常转化为寻找加权中心点来简化运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2001-上海卷理-14 单-空间向量基本定理
• 2002-新课标理-10 单-平面向量的线性运算
• 2003-江苏卷-05