2011-安徽卷理-05 单-三选一

本题导读

本题考查极坐标与直角坐标的互化，以及两点间距离公式。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(理)） 在极坐标系中，点 $\left(2,\frac{\pi }{3}\right)$ 到圆 $\rho =2\cos \theta$ 的圆心的距离为 ()

A. 2　　　　　　B. $\sqrt{4+\frac{{\pi }^2}{9}}$　　　　　　C. $\sqrt{1+\frac{{\pi }^2}{9}}$　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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1. 利用互化公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 将点和圆方程转换为直角坐标形式。
2. 求出圆心坐标，利用两点间距离公式求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 将点 $P\left(2,\frac{\pi }{3}\right)$ 化为直角坐标： $x_P=2\cos \frac{\pi }{3}=1,y_P=2\sin \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}⟹P(1,\sqrt{3})$

2. 将圆 $\rho =2\cos \theta$ 两边同乘 $\rho$ 得： ${\rho }^2=2\rho \cos \theta ⟹x^2+y^2=2x$ 整理得 $(x-1{)}^2+y^2=1$，则圆心坐标为 $C(1,0)$。

3. 计算距离： $|PC|=\sqrt{(1-1{)}^2+(\sqrt{3}-0{)}^2}=\sqrt{3}$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：极坐标与直角坐标互化公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,x^2+y^2={\rho }^2$。
• 核心方法：统一化为直角坐标系后求解。
• 避坑指南：切忌直接用极坐标下的“角度与极径”误套直角坐标公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自坐标系与参数方程选考模块经典基础题。
• 结论推广：圆 $\rho =2r\cos \theta$ 表示圆心在 $(r,0)$（极坐标），半径为 $r$ 的圆。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2000-上海卷理-20 解-极坐标与直角坐标的互化
• 1981-全国卷理-04
• 1986-全国理-03 单-极坐标方程与曲线