2011-安徽卷理-10 单-三次函数

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及函数图象的切线斜率特征。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(理)） 函数 $f(x)=a{x}^m(1-x{)}^n$ 在区间 $[0,1]$ 上的图象如图所示，则 $m,n$ 的值可能是 ()

A. $m=1,n=1$　　　　　　　　　　　　　　　B. $m=1,n=2$

C. $m=2,n=1$　　　　　　　　　　　　　　　D. $m=3,n=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察图象可知，极大值点 $x_0$ 满足 $0<x_0<0.5$。
2. 观察 $x=0$ 和 $x=1$ 处的切线斜率特点（$x=1$ 处图象切线平缓趋于0）。
3. 求导得出极值点表达式，结合极值点位置比对选项。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 对 $f(x)=a{x}^m(1-x{)}^n$ 求导： $f^{\prime }(x)=a\left[m{x}^{m-1}(1-x{)}^n-n{x}^m(1-x{)}^{n-1}\right]=a{x}^{m-1}(1-x{)}^{n-1}[m(1-x)-nx]$ 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得在 $(0,1)$ 内的极值点为： $x_0=\frac{m}{m+n}$

由图象可知，函数的极大值点 $x_0<0.5$： $\frac{m}{m+n}<\frac{1}{2}⟹2m<m+n⟹m<n$

逐一检验选项中 $m,n$ 的关系：

• (A) $m=1,n=1⟹m=n$（不符）；
• (B) $m=1,n=2⟹m<n$（符合）；
• (C) $m=2,n=1⟹m>n$（不符）；
• (D) $m=3,n=1⟹m>n$（不符）。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数与函数极值点位置的关系。
• 核心方法：求导找到极值点 $x_0=\frac{m}{m+n}$，结合图象观察极值点与 0.5 的大小关系。
• 避坑指南：亦可通过 $x=1$ 处切线情况判断，$n>1$ 时在 $x=1$ 处的导数为 0（切线水平），而 $n=1$ 时在 $x=1$ 处导数不为 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：本题背景为 Beta 分布（$\beta$ distribution）的概率密度函数图象特征。
• 结论推广：函数 $f(x)=x^m(1-x{)}^n$ 在 $(0,1)$ 上的极值点为 $x=\frac{m}{m+n}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 1991-全国卷理-13
• 2001-上海卷理-16 单-函数的单调性与极值