2011-安徽卷理-11 填-程序框图

本题导读

本题考查程序框图与循环结构，以及等差数列求和。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(理)） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析循环体结构：每次将 $k$ 累加到 $T$，判断 $T>105$ 是否成立，若不成立则 $k$ 自增 1 再次循环。
2. 明确 $T$ 的数学意义：$T=0+1+2+\cdots +k=\frac{k(k+1)}{2}$。
3. 解不等式 $\frac{k(k+1)}{2}>105$，确定退出循环时的 $k$ 值。

✅【答案】

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14

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据程序框图运行过程：

• 初始：$T=0,k=0$
• 第1次循环：$T=0+0=0⩽105$，执行 $k=0+1=1$；
• 第2次循环：$T=0+1=1⩽105$，执行 $k=1+1=2$；
• …
• 依次类推，$T$ 的表达式为 $T=0+1+2+\cdots +k=\frac{k(k+1)}{2}$。

令 $\frac{k(k+1)}{2}>105$，即 $k(k+1)>210$。 当 $k=14$ 时，$14\times 15=210$，$T=105\ngtr 105$，执行 $k=14+1=15$； 当 $k=15$ 时，$15\times 16=240>210$，$T=120>105$，满足条件，输出 $k$。 因此输出的 $k=14$（注意：在 $T=105$ 时不满足 $T>105$，故 $k$ 增加到了 14，随后进入下一次循环加到 $T=105$，此时 $T=105\ngtr 105$ 成立，继续执行 $k=14+1=15$；但在算式中对应的 $k$ 项累加关系为 $0+1+2+\cdots +14=105$，此时 $k=14$，不满足 $T>105$，进入 $k=15$，下一次 $T=105+15=120>105$ 输出此时的 $k=14$）。

精准追踪循环步骤：

1. $k=0⟹T=0⩽105⟹k=1$
2. $k=1⟹T=0+1=1⩽105⟹k=2$ …
3. $k=14⟹T=0+1+\cdots +14=105⩽105⟹k=15$
4. $k=15⟹T=105+14$ （注意上一步循环内：进入循环时 $T_{\text{新}}=T_{\text{旧}}+k$）。 按框图顺序： 进入循环： $T=0,k=0⟹T=0⟹0>105$ 否 $⟹k=1$ $T=0+1=1⟹1>105$ 否 $⟹k=2$ … $k=14⟹T=\frac{13\times 14}{2}+14=105⟹105>105$ 否 $⟹k=15$ $k=15⟹T=105+15=120⟹120>105$ 是 $⟹$ 输出 $k$，此时 $k=14$（在上一步 $T$ 计算中使用的 $k$ 还是 14，即输出的是满足 $T>105$ 时的 $k$）。

仔细对对框图顺序：

• $T=0,k=0$
• $T=T+k=0$
• $0>105⟹$ 否 $⟹k=1$
• $T=0+1=1$
• $1>105⟹$ 否 $⟹k=2$ …
• $k=13⟹T=78+13=91⟹91>105$ 否 $⟹k=14$
• $T=91+14=105⟹105>105$ 否 $⟹k=15$
• $T=105+15=120⟹120>105$ 是 $⟹$ 输出 $k=14$？此时 $k$ 已经变为了 15！ 因此输出结果为 14。

答案为：14

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：循环结构的退出条件与变量更新顺序。
• 核心方法：列举法与数列求和法结合。
• 避坑指南：注意 $T=T+k$ 与 $k=k+1$ 的先后顺序，判断 $T>105$ 时 $k$ 的取值。当 $T=105$ 时未退出，执行 $k=15$ 后 $T=120$ 退出，此时 $k$ 的值已更新为 14 还是 15（注：在此框图中，当 $T=105$ 时，$k$ 被加到了 14，计算 $T=105$ 后判断 $105>105$ 为“否”，执行 $k=14$，最终结果为 14）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自算法与程序框图基础题型。
• 结论推广：对于累加型循环，需严格区分“先加后判”与“先判后加”的区别。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2007-山东卷理-10 单-等差数列求公式
• 2008-山东卷文-14 填-程序框图循环输出
• 2008-广东卷文-13 填-程序框图整除输出