2011-安徽卷理-14 填-椭圆

本题导读

本题考查余弦定理，以及三角形面积公式。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(理)） 已知 $\Delta ABC$ 的一个内角为 $120^{\circ }$，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则 $\Delta ABC$ 的面积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设三角形三边长分别为 $a-4,a,a+4$（$a>4$），最大的角即为 $120^{\circ }$ 对的边 $a+4$。
2. 利用余弦定理列出关于 $a$ 的方程求解 $a$。
3. 利用面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ 计算面积。

✅【答案】

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$80\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 设三角形三边长为 $x-4,x,x+4$（$x>4$）。 因为大边对大角，所以最大角 $120^{\circ }$ 所对的边为 $x+4$。 由余弦定理： $(x+4{)}^2=(x-4{)}^2+x^2-2x(x-4)\cos 120^{\circ }$ 因为 $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$，整理得： $x^2+8x+16=x^2-8x+16+x^2+x(x-4)$ $x^2+8x+16=2x^2-12x+16$ $x^2-20x=0$ 解得 $x=20$（$x=0$ 舍去）。

所以三角形的三边长分别为 $16,20,24$。 夹 $120^{\circ }$ 角的两边长为 16 和 20。 则三角形的面积为： $S=\frac{1}{2}\times 16\times 20\times \sin 120^{\circ }=160\times \frac{\sqrt{3}}{2}=80\sqrt{3}$

答案为：$80\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：余弦定理求边长及三角形面积公式。
• 核心方法：设等差数列对称项 $x-d,x,x+d$ 简化计算。
• 避坑指南：注意最大角必对最大边，余弦定理代入时不要将边与角混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自解三角形与数列结合的传统高频考题。
• 结论推广：若三角形三边长成等差数列，且最大角为 $120^{\circ }$，则三边长必成 $3:5:7$ 的比例关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷理-08
• 2004-全国卷III理-10 单-余弦定理
• 2010-上海卷理-18