2011-安徽卷理-16 解-导数

本题导读

本题考查利用导数研究函数的极值。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(理)） 设 $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+a{x}^2}$，其中 $a$ 为正实数.

(1) 当 $a=\frac{4}{3}$ 时，求 $f(x)$ 的极值点；

(2) 若 $f(x)$ 为 $\mathbf{R}$ 上的单调函数，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 对 $f(x)$ 求导，得到 $f^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x(a{x}^2-2ax+1)}{(1+a{x}^2{)}^2}$，导数正负由分子二次函数 $g(x)=a{x}^2-2ax+1$ 决定。
2. 第(1)问代入 $a=\frac{4}{3}$，解 $g(x)=0$ 的根，分析导数符号变化确定极小值点与极大值点。
3. 第(2)问由于 ${\mathrm{e}}^x>0$，若 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调，因 $x\to +\infty$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，故只能是单调递增，即 $f^{\prime }(x)⩾0$ 恒成立，转化为判别式 $\Delta ⩽0$ 求解。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解： 对 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x(1+a{x}^2)-{\mathrm{e}}^x\cdot 2ax}{(1+a{x}^2{)}^2}=\frac{{\mathrm{e}}^x(a{x}^2-2ax+1)}{(1+a{x}^2{)}^2}$ 因为对任意 $x\in \mathbf{R}$，$\frac{{\mathrm{e}}^x}{(1+a{x}^2{)}^2}>0$，所以 $f^{\prime }(x)$ 的符号与 $g(x)=a{x}^2-2ax+1$ 的符号相同。

(1) 当 $a=\frac{4}{3}$ 时： $g(x)=\frac{4}{3}{x}^2-\frac{8}{3}x+1$ 令 $g(x)=0$，即 $4x^2-8x+3=0$，解得 $x_1=\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$。

$f^{\prime }(x)$ 与 $f(x)$ 随 $x$ 的变化情况如下表：

$x$	$\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)$	$\frac{1}{2}$	$\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$	$\frac{3}{2}$	$\left(\frac{3}{2},+\infty \right)$
$f^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	极大值	$\searrow$	极小值	$\nearrow$

所以，$f(x)$ 的极大值点为 $x=\frac{1}{2}$，极小值点为 $x=\frac{3}{2}$。

(2) 因为 $a>0$，当 $x\to +\infty$ 时，$g(x)>0$，所以 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上不可能单调递减。 若 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上为单调函数，则只能在 $\mathbf{R}$ 上单调递增， 即 $f^{\prime }(x)⩾0$ 对任意 $x\in \mathbf{R}$ 恒成立， 即 $g(x)=a{x}^2-2ax+1⩾0$ 对任意 $x\in \mathbf{R}$ 恒成立。

由于 $a>0$，二次函数 $g(x)⩾0$ 恒成立的充要条件是判别式 $\Delta ⩽0$： $\Delta =(-2a{)}^2-4a\cdot 1=4a^2-4a⩽0$ 解得 $0⩽a⩽1$。 结合已知 $a>0$，得 $0<a⩽1$。

所以 $a$ 的取值范围是 $(0,1]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数判定函数的极值与单调性，二次函数恒成立问题。
• 核心方法：等价转化法（将导函数符号转化为二次函数符号）。
• 避坑指南：第(1)问注意问的是“极值点”而非“极值”，只需写出 $x$ 的值；第(2)问需写明为何不能单调递减，且注意题干中 $a>0$ 的条件限制。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自利用导数研究函数单调性与极值的导数压轴第一、二问基础题型。
• 结论推广：形如 $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{P(x)}$ 的函数单调性，可转化为研究 $P(x)-P^{\prime }(x)$ 的正负。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-20 解-函数极值
• 2008-天津卷文-21 解-四次函数极值与恒成立
• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值