2011-安徽卷理-17 解-线面角

本题导读

本题考查线面平行的判定与性质。

📌【题干】

Question

（2011年安徽卷(理)） 如图，$ABEDFC$ 为多面体，平面 $ABED$ 与平面 $ACFD$ 垂直，点 $O$ 在线段 $AD$ 上，$OA=1,OD=2$，$\Delta OAB,\Delta OAC,\Delta ODE,\Delta ODF$ 都是正三角形.

(1) 证明直线 $BC\parallel EF$；

(2) 求棱锥 $F-OBED$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：利用平行四边形判定或面面平行性质。在 $\Delta OAB$ 和 $\Delta ODE$ 中，由正三角形性质可知 $\angle AOB=\angle DOE=60^{\circ }$，推出 $OB\parallel DE$，且 $\frac{OB}{DE}=\frac{1}{2}=\frac{AO}{OD}$，从而证出四边形 $BCFE$ 为平行四边形或利用面面平行导出 $BC\parallel EF$。
2. 第(2)问：求棱锥 $F-OBED$ 的体积。取 $OD$ 中点 $M$，连结 $FM$，利用正三角形性质可知 $FM\perp OD$。结合面面垂直性质定理，证明 $FM\perp$ 平面 $OBED$，即 $FM$ 为棱锥 $F-OBED$ 的高。再计算底面 $\Delta OBED$（或分割为两个三角形）的面积即可。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 证明： 在 $\Delta OAB$ 与 $\Delta ODE$ 中，因为它们都是正三角形， 所以 $OA=OB=1,OD=OE=2$，且 $\angle AOB=\angle DOE=60^{\circ }$。 所以 $\angle AOB+\angle BOD=180^{\circ }$，即 $A,O,D$ 三点共线。 由 $\angle AOB=\angle DOE=60^{\circ }$，得 $OB\parallel DE$， 且 $\frac{OB}{DE}=\frac{1}{2}$，又 $\frac{AO}{OD}=\frac{1}{2}$， 同理，在正三角形 $\Delta OAC$ 与 $\Delta ODF$ 中，可得 $OC\parallel DF$，且 $\frac{OC}{DF}=\frac{1}{2}$。

作向量分析或平面平行证明： 在 $\Delta OBC$ 与 $\Delta ODF$ 对应关系中，$\angle BOC=\angle DOF$， 由 $OB\parallel DE,OC\parallel DF$，且 $\frac{OB}{DE}=\frac{OC}{DF}=\frac{1}{2}$， 可得平面 $OBC\parallel$ 平面 $DEF$（或利用坐标法/相似三角形判定）。 因此，在 $\Delta ABC$ 与 $\Delta DEF$ 相关截面关系中，可得 $BC\parallel EF$。

（另法：建立空间直角坐标系） 取 $AD$ 为 $x$ 轴，$O$ 为原点。由平面 $ABED\perp$ 平面 $ACFD$，容易求得各点坐标： $A(-1,0,0),O(0,0,0),D(2,0,0)$。 $B\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$, $C\left(-\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$； $E\left(1,-\sqrt{3},0\right)$, $F\left(1,0,\sqrt{3}\right)$。 计算向量： $\overrightarrow{BC}=C-B=\left(0,-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$； $\overrightarrow{EF}=F-E=\left(0,\sqrt{3},\sqrt{3}\right)$。 因此 $\overrightarrow{EF}=-2\overrightarrow{BC}$，故 $\overrightarrow{BC}\parallel \overrightarrow{EF}$， 即直线 $BC\parallel EF$。

(2) 计算棱锥 $F-OBED$ 的体积： 取 $OD$ 的中点 $M$，连结 $FM$。 因为 $\Delta ODF$ 是边长为 2 的正三角形，且 $M$ 为 $OD$ 中点， 所以 $FM\perp OD$，且 $FM=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。

因为平面 $ABED\perp$ 平面 $ACFD$，交线为 $AD$（即直线 $OD$）， 且 $FM\subset$ 平面 $ACFD$，$FM\perp OD$， 根据面面垂直的性质定理，可得 $FM\perp$ 平面 $OBED$。 因此，$FM=\sqrt{3}$ 即为棱锥 $F-OBED$ 底面 $OBED$ 上的高。

下面计算底面四边形 $OBED$ 的面积 $S_{OBED}$： 四边形 $OBED$ 可以分为 $\Delta OBD$ 与 $\Delta ODE$ 两部分（或直接按梯形/两个三角形计算）： 在 $\Delta OBD$ 中，$OB=1,OD=2,\angle BOD=180^{\circ }-\angle AOB=120^{\circ }$， $S_{\Delta OBD}=\frac{1}{2}\cdot OB\cdot OD\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}\times 1\times 2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

在正三角形 $\Delta ODE$ 中，边长为 2， $S_{\Delta ODE}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2=\sqrt{3}$

因为 $O,B,E,D$ 四点共面，四边形 $OBED$ 面积为： $S_{OBED}=S_{\Delta OBD}+S_{\Delta ODE}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

所以，棱锥 $F-OBED$ 的体积为： $V_{F-OBED}=\frac{1}{3}\times S_{OBED}\times FM=\frac{1}{3}\times \frac{3\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{3}=\frac{3}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线面平行与面面平行的证明、面面垂直性质定理找高、三棱锥/四棱锥体积计算。
• 核心方法：几何法求体积 $V=\frac{1}{3}Sh$；空间直角坐标系法证明线线平行。
• 避坑指南：计算四边形 $OBED$ 面积时，注意 $\angle BOD=120^{\circ }$，切勿误认为是直角；面面垂直找高时，必须交线明确且高线垂直于交线。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自经典多面体分割与空间向量综合解答题。
• 结论推广：若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，这是求棱锥高的常用依据。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-19 解-线面平行
• 2002-北京卷理-18 解-二面角的平面角及其求法
• 2002-大纲理-18 解-平面垂直的性质