2011-山东卷文-06 单-三角单调定参

本题导读

本题考查正弦型函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(文)） 若函数 $f(x)=\sin \omega x$（$\omega >0$）在区间 $\left[0,\frac{\pi }{3}\right]$ 上单调递增，在区间 $\left[\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right]$ 上单调递减，则 $\omega =$ ()

A. $\frac{2}{3}$　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：递增转递减的分界即最大值点：$\omega \cdot \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$

✅【答案】

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B$\omega =\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$f$ 在 $x=\frac{\pi }{3}$ 处由增转减，故 $x=\frac{\pi }{3}$ 是最大值点：$\omega \cdot \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$。

若 $k⩾1$，则 $\omega ⩾\frac{5}{2}$，此时 $\omega x$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{3}\right)$ 内已经过 $\frac{\pi }{2}$ 等多个极值点，与 $\left[0,\frac{\pi }{3}\right]$ 上递增矛盾；$k<0$ 使 $\omega <0$，舍。

故 $k=0$，$\omega =\frac{3}{2}$。验证：$\omega \cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{4}<\pi$，$\left[\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right]$ 上余弦为负，递减成立。选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数的单调区间与极值点

核心方法：“增转减的分界 = 最大值点”，用 $\omega x_0=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ 定参，再排除多余的 $k$

避坑指南：$k⩾1$ 时区间 $\left[0,\frac{\pi }{3}\right]$ 内会出现峰谷，破坏单调性——这是本题排除 $k\ne 0$ 的关键；只解方程不验证会误取 $\omega =\frac{5}{2}$ 等。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角单调定参题与 2013-四川卷文-06、2011-新课标卷文-11、2012-天津卷文-07 同族。

结论推广：推广：$f(x)=\sin \omega x$ 在 $[0,x_0]$ 增、$[x_0,x_1]$ 减且 $x_1⩽\frac{\pi }{\omega }$ 时，$\omega =\frac{\pi }{2x_0}$ 唯一。

方法推广：单调性定参：先由分界点列相位方程，再用”区间内不得另有极值”收紧 $k$ 的范围。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-06 单-三角函数图象定参
• 2011-新课标卷文-11 单-三角函数图象性质
• 2012-天津卷文-07 单-三角函数图象平移