2011-山东卷理-03 单-对数运算

本题导读

本题考查指数函数的性质与运算，以及特殊角的三角函数值。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)） 若点 $(a,9)$ 在函数 $y=3^x$ 的图象上，则 $\tan \frac{a\pi }{6}$ 的值为 ()

A. 0　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将点 $(a,9)$ 代入函数解析式求出 $a$。
2. 将 $a$ 代入三角函数计算 $\tan \frac{a\pi }{6}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为点 $(a,9)$ 在函数 $y=3^x$ 的图象上， 所以： $3^a=9=3^2⟹a=2$ 则： $\tan \frac{a\pi }{6}=\tan \frac{2\pi }{6}=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：指数方程基础计算与特殊角正切值。
• 核心方法：代入点坐标求参数，直接套用特殊角函数值。
• 避坑指南：注意分辨 $\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 与 $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：初等函数基本性质与基础运算的常规组合。
• 结论推广：基础小题串联指数与三角，注重基础定义的精准识别。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1977-天津-01(4)
• 1977-河北卷-01(6)
• 1977-黑龙江卷-02(2)