2011-山东卷理-04 单-充要条件

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值的几何意义。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)） 不等式 $|x-5|+|x+3|⩾10$ 的解集是 ()

A. $[-5,7]$　B. $[-4,6]$　C. $(-\infty ,-5]\cup [7,+\infty )$　D. $(-\infty ,-4]\cup [6,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 几何意义法：$|x-5|+|x+3|$ 表示数轴上动点 $x$ 到两定点 $5$ 与 $-3$ 的距离之和。
2. 两定点距离为 8。当点向两端延伸时，计算使得距离和为 10 的临界点。
3. 确定向外延伸的区间范围。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

方法一（数轴几何法）： $|x-5|+|x+3|$ 表示数轴上动点 $x$ 到定点 5 和 $-3$ 的距离之和。 两定点之间的线段长为 $5-(-3)=8$。 当 $x\in [-3,5]$ 时，距离之和恒为 8。 设超出两端的距离为 $d$，则总距离为 $8+2d=10⟹d=1$。

• 向右侧：$x=5+1=6$；
• 向左侧：$x=-3-1=-4$。 要使距离之和 $⩾10$，动点 $x$ 需分布在两临界点之外，即： $x⩽-4\text{或}x⩾6$ 解集为 $(-\infty ,-4]\cup [6,+\infty )$。

方法二（零点分段法）：

• 当 $x<-3$ 时，$-(x-5)-(x+3)⩾10⟹-2x+2⩾10⟹x⩽-4$；
• 当 $-3⩽x⩽5$ 时，$-(x-5)+(x+3)⩾10⟹8⩾10$（无解）；
• 当 $x>5$ 时，$(x-5)+(x+3)⩾10⟹2x-2⩾10⟹x⩾6$。 综合得 $x⩽-4$ 或 $x⩾6$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：绝对值不等式解法与几何意义。
• 核心方法：几何距离法秒杀“距离和”极值；分段讨论法通法求解。
• 避坑指南：不等号为“$⩾$”，对应区间向外侧延伸，排除 A、B；计算临界值时注意 $-3$ 往左走 1 格为 $-4$ 而非 $-5$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：选修4-5《不等式选讲》中绝对值三角不等式与几何意义的基础题。
• 结论推广：对 $|x-a|+|x-b|⩾c$（设 $a<b,c>b-a$），解集恒为 $\left(-\infty ,a-\frac{c-(b-a)}{2}\right]\cup \left[b+\frac{c-(b-a)}{2},+\infty \right)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 1977-黑龙江卷-01(2)
• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域
• 2008-浙江卷文-11 填-函数代入求值