2011-山东卷理-05 单-函数

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)） 对于函数 $y=f(x),x\in \mathbf{R}$.“$y=|f(x)|$ 的图象关于 $y$ 轴对称”是“$y=f(x)$ 是奇函数”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 考查充分性：若 $y=|f(x)|$ 的图象关于 $y$ 轴对称，判断是否能推出 $f(x)$ 必为奇函数（可举反例验证偶函数）。
2. 考查必要性：若 $f(x)$ 是奇函数，判断其绝对值函数 $|f(x)|$ 是否一定关于 $y$ 轴对称。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

1. 检验充分性： 若 $y=|f(x)|$ 的图象关于 $y$ 轴对称，即 $|f(-x)|=|f(x)|$。 例如取偶函数 $f(x)=x^2$（或 $f(x)=1$），此时 $|f(x)|=x^2$ 的图象关于 $y$ 轴对称，但 $f(x)=x^2$ 是偶函数而不是奇函数。 故充分性不成立。
2. 检验必要性： 若 $y=f(x)$ 是奇函数，则对任意 $x\in \mathbf{R}$，恒有 $f(-x)=-f(x)$。 两边取绝对值： $|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|$ 因此函数 $g(x)=|f(x)|$ 满足 $g(-x)=g(x)$，为偶函数，其图象关于 $y$ 轴对称。 故必要性成立。 综合上述，“$y=|f(x)|$ 的图象关于 $y$ 轴对称”是“$y=f(x)$ 是奇函数”的必要而不充分条件。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：奇偶函数代数性质转化与充要条件判定。
• 核心方法：必要性用代数式推导证明，非充分性构造简单反例（如非零常数函数或偶函数）。
• 避坑指南：牢记 $|f(-x)|=|f(x)|⟺f(-x)=\pm f(x)$，不能直接推出 $f(-x)=-f(x)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：必修一函数性质与简易逻辑连接词的经典辨析题。
• 结论推广：若 $f(x)$ 为奇函数或偶函数，其模函数 $|f(x)|$ 均为偶函数；反之，模函数为偶函数推不出原函数为奇函数（也可能为偶函数或分段异号函数）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 1990-上海卷-12 单-充要条件的判定
• 2007-大纲卷I理-09 单-充分条件必要条件判定