2011-山东卷理-10 单-函数

本题导读

本题考查函数的周期性，以及函数的零点与图象交点。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)） 已知 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 $0⩽x<2$ 时，$f(x)=x^3-x$，则函数 $y=f(x)$ 的图象在区间 $[0,6]$ 上与 $x$ 轴的交点的个数为 ()

A. 6　　　　　　　B. 7　　　　　　　C. 8　　　　　　　D. 9

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求单个半开周期 $[0,2)$ 内函数 $f(x)=x^3-x=0$ 的零点。
2. 将 $[0,6]$ 拆分为 $[0,2)\cup [2,4)\cup [4,6)\cup \{6\}$。
3. 利用周期性得出前三个半开区间内零点的个数，再加上右端点 $x=6$ 处的零点。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

当 $x\in [0,2)$ 时，令 $f(x)=0$，得： $x^3-x=0⟺x(x-1)(x+1)=0$ 解得 $x_1=0,x_2=1$（根 $x=-1$ 不在 $[0,2)$ 内）。 因此，函数在半开区间 $[0,2)$ 内恰有 2 个零点，分别为 $0,1$。 因为 $f(x)$ 的最小正周期为 2， 所以：

• 在 $[2,4)$ 内，零点为 $0+2=2$ 和 $1+2=3$（共 2 个）；
• 在 $[4,6)$ 内，零点为 $0+4=4$ 和 $1+4=5$（共 2 个）；
• 考查端点 $x=6$：由周期性可知 $f(6)=f(6-3\times 2)=f(0)=0$，故 $x=6$ 也是一个零点。 综上，在闭区间 $[0,6]$ 内的所有交点横坐标为 $0,1,2,3,4,5,6$，共有 7 个交点。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：周期函数的零点平移规律与闭区间端点计数。
• 核心方法：划分为半开半闭区间 $[kT,(k+1)T)$ 统计，最后单独核对闭区间的右端点。
• 避坑指南：极易漏掉最右端点 $x=6$ 导致误选 A（6个），或错误将每个完整闭区间 $[0,2]$ 的端点重复计算导致偏多。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：必修一函数性质中结合周期性与方程求根的经典计数小题。
• 结论推广：若周期为 $T$ 的函数在 $[0,T)$ 内有 $m$ 个零点，且 $f(0)=0$，则在闭区间 $[0,nT]$ 内零点个数为 $n\cdot m+1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1977-天津-01(3)
• 1983-全国卷理-04
• 1985-全国卷理-02