2011-山东卷理-21 解-三视图还原

本题导读

本题考查几何体的表面积与体积。

📌【题干】

Question

（2011年山东卷(理)） 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 $\frac{80\pi }{3}$ 立方米，且 $l⩾2r$.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为 $c(c>3)$ 千元.设该容器的建造费用为 $y$ 千元.

(1) 写出 $y$ 关于 $r$ 的函数表达式，并求该函数的定义域；

(2) 求该容器的建造费用最小时的 $r$.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：容器由一个圆柱和两个半球（拼成一个整球）组成。

• 容积 $V=\frac{4}{3}\pi r^3+\pi r^{2}l=\frac{80\pi }{3}$，消去 $l$ 用 $r$ 表示；
• 结合 $l⩾2r$ 和 $r>0$ 确定自变量 $r$ 的定义域；
• 根据圆柱侧面积 $2\pi rl$ 与整球面表面积 $4\pi r^2$ 计算建造总费用 $y$。

2. 对 (2)：对函数 $y(r)$ 求导，求出导函数的零点（驻点），结合参数 $c>3$ 的取值大小，讨论驻点与定义域区间端点的相对位置，进而确定函数取得最小值时的 $r$。

✅【答案】

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(1) 待补

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意，两端的两个半球合并为一个半径为 $r$ 的球，中间为底面半径为 $r$、高为 $l$ 的圆柱。 容器的容积为： $V=\frac{4}{3}\pi r^3+\pi r^{2}l=\frac{80\pi }{3}$ 两边同除以 $\pi$，得： $\frac{4}{3}{r}^3+r^{2}l=\frac{80}{3}⟹r^{2}l=\frac{80-4r^3}{3}⟹l=\frac{80-4r^3}{3r^2}$ 因为 $l⩾2r$ 且 $r>0$，所以： $\frac{80-4r^3}{3r^2}⩾2r⟹80-4r^3⩾6r^3⟹10r^3⩽80⟹r^3⩽8$ 解得： $0<r⩽2$ 所以该函数的定义域为 $(0,2]$。

容器圆柱部分的侧面积为 $S_1=2\pi rl$，每平方米建造费用为 3 千元； 两个半球形的表面积为 $S_2=4\pi r^2$，每平方米建造费用为 $c$ 千元。 建造总费用 $y$ 为： $y=3\times 2\pi rl+c\times 4\pi r^2=6\pi rl+4c\pi r^2$ 将 $l=\frac{80-4r^3}{3r^2}$ 代入，得： $y=6\pi r\cdot \frac{80-4r^3}{3r^2}+4c\pi r^2=\frac{2\pi (80-4r^3)}{r}+4c\pi r^2$ $=\frac{160\pi }{r}-8\pi r^2+4c\pi r^2=\frac{160\pi }{r}+4(c-2)\pi r^2$ 故 $y$ 关于 $r$ 的函数表达式为： $y=\frac{160\pi }{r}+4(c-2)\pi r^2$ 其定义域为 $(0,2]$。

(2) 由 (1) 知，$y=\frac{160\pi }{r}+4(c-2)\pi r^2(0<r⩽2)$。 对 $r$ 求导数，得： $y^{\prime }=-\frac{160\pi }{r^2}+8(c-2)\pi r=\frac{8\pi [(c-2)r^3-20]}{r^2}$ 令 $y^{\prime }=0$，因为 $c>3$，所以 $c-2>1>0$。 解得唯一的极值点： $r_0=\sqrt[3]{\frac{20}{c-2}}$ 当 $r\in (0,r_0)$ 时，$y^{\prime }<0$，$y$ 单调递减； 当 $r\in (r_0,+\infty )$ 时，$y^{\prime }>0$，$y$ 单调递增。 考查极值点 $r_0$ 与区间端点 2 的大小关系： $r_0⩽2⟺\frac{20}{c-2}⩽8⟺c-2⩾\frac{20}{8}=\frac{5}{2}⟺c⩾\frac{9}{2}$

① 当 $3<c<\frac{9}{2}$ 时，$r_0>2$。 此时在定义域 $(0,2]$ 上，$r<r_0$，因此 $y^{\prime }<0$ 恒成立， 即函数 $y$ 在 $(0,2]$ 上单调递减。 所以当 $r=2$ 时，建造费用 $y$ 取得最小值。

② 当 $c⩾\frac{9}{2}$ 时，$0<r_0⩽2$。 在区间 $(0,r_0)$ 上 $y^{\prime }<0$，$y$ 单调递减；在区间 $(r_0,2]$ 上 $y^{\prime }>0$，$y$ 单调递增。 所以当 $r=r_0=\sqrt[3]{\frac{20}{c-2}}$ 时，建造费用 $y$ 取得最小值。

综上所述：

• 当 $3<c<\frac{9}{2}$ 时，建造费用最小时 $r=2$；
• 当 $c⩾\frac{9}{2}$ 时，建造费用最小时 $r=\sqrt[3]{\frac{20}{c-2}}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：旋转体体积与表面积、函数建模消元、导数求驻点及参数分类讨论。
• 核心方法：
• 用等量关系消去变量 $l$；
• 不等式约束 $l⩾2r$ 与 $r>0$ 共同决定定义域；
• 导数讨论最值时，将驻点 $r_0$ 与定义域边界 $2$ 作比较分类。
• 避坑指南：
• 圆柱部分只算侧面积，两端与半球相接处没有底面圆面（不可重复计入底面面积）；
• 切勿忽略 $c>3$ 的区间背景；当 $r_0>2$ 时驻点在定义域外部，极值点退化为端点最值，必须分段讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：经典的工业容器材料成本优化设计模型，源自人教版数学选修2-2导数在实际优化问题中的应用。
• 结论推广：形如 $y=\frac{A}{r}+B{r}^2(r\in (0,R])$ 的成本函数，当极值点 $r^{\ast }=\sqrt[3]{\frac{A}{2B}}⩽R$ 时在内部取得最小值，当 $r^{\ast }>R$ 时在边界端点 $R$ 处取得最小值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 1984-全国卷理-06
• 2000-新课标理-09 单-几何体的表面积与体积
• 2002-苏豫粤卷-11 单-排列组合