2011-广东卷文-06 单-线性规划数量积

本题导读

本题考查线性规划，以及向量数量积的坐标表示。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 已知平面直角坐标系 $xOy$ 上的区域 $D$ 由不等式组 $\{\begin{array}{l}0⩽x⩽\sqrt{2},\\ y⩽2,\\ x⩽\sqrt{2}y\end{array}$ 给定. 若 $M(x,y)$ 为 $D$ 上的动点，点 $A$ 的坐标为 $\left(\sqrt{2},1\right)$，则 $z=\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OA}$ 的最大值为 ()

A. $3$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $3\sqrt{2}$　　　　　　　D. $4\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$z=\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OA}=\sqrt{2}x+y$
2. 步骤2：在区域顶点处比较

✅【答案】

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B$4$

✍【详细解析】

Abstract

$z=\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OA}=\sqrt{2}x+y$，是关于 $x$，$y$ 的线性目标函数。

区域 $D$ 的顶点：$O(0,0)$；$x=\sqrt{2}$ 与 $y=2$ 交于 $P(\sqrt{2},2)$；$x=\sqrt{2}$ 与 $x=\sqrt{2}y$（即 $y=\frac{\sqrt{2}}{2}x$）交于 $Q\left(\sqrt{2},1\right)$；$y=2$ 与 $y=\frac{\sqrt{2}}{2}x$ 交于 $R(2\sqrt{2},2)$？——注意约束 $0⩽x⩽\sqrt{2}$，$R$ 横坐标越界舍去，实际顶点还有 $y=2$ 与 $x=\sqrt{2}y$ 之交 $(2\sqrt{2},2)$ 不在域内，而 $x=0$ 与 $y=2$ 的交点 $(0,2)$ 在域内（满足 $0⩽\sqrt{2}\times 2$）。

顶点集：$O(0,0)$，$(0,2)$，$P(\sqrt{2},2)$，$Q\left(\sqrt{2},1\right)$。

$z$ 值：$O$ 处 $0$；$(0,2)$ 处 $2$；$P$ 处 $2+2=4$；$Q$ 处 $2+1=3$。

最大值为 $4$，在 $(\sqrt{2},2)$ 取得，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二元一次不等式组的可行域；目标函数含向量数量积的线性化

核心方法：先把 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OA}$ 展开成 $\sqrt{2}x+y$，再按线性规划顶点法比较

避坑指南：$x⩽\sqrt{2}y$ 要先看作 $y⩾\frac{\sqrt{2}}{2}x$ 才好画域；顶点 $(2\sqrt{2},2)$ 被 $x⩽\sqrt{2}$ 挡掉，若不核对横坐标约束会误算 $z=6$；数量积目标函数本质是线性函数，先展开再优化。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划与数量积题与 2011-湖南卷文-14、2012-浙江卷文-14、2011-浙江卷文-03 同族。

结论推广：推广：$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OA}$（$A$ 固定）是线性目标函数 $a_{0}x+b_{0}y$，其最值总在凸多边形域的顶点处取得；系数均为正时最值偏向 $x$、$y$ 同时大的顶点。

方法推广：数量积型线性规划：先展开成 $ax+by$，再老老实实列顶点逐个代入，最可靠。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-湖南卷文-14 填-线性规划含参
• 2012-浙江卷文-14 填-线性规划取值范围
• 2011-浙江卷文-03 单-线性规划最值