2011-广东卷理-09 填-充要条件

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值的几何意义。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(理)） 不等式 $|x+1|-|x-3|⩾0$ 的解集是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 移项得到 $|x+1|⩾|x-3|$。
2. 几何法：表示数轴上点 $x$ 到 $-1$ 的距离大于或等于到 $3$ 的距离，即 $x$ 位于中点右侧或中点处。
3. 平方法：两边非负，直接平方去绝对值求解。

✅【答案】

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$\{x\mid x⩾1\}$

✍【详细解析】

Abstract

原不等式等价于： $|x+1|⩾|x-3|$ 两边同时平方得： $(x+1{)}^2⩾(x-3{)}^2$ 展开得： $x^2+2x+1⩾x^2-6x+9$ 移项化简得： $8x⩾8⟹x⩾1$ 故答案为 $\{x\mid x⩾1\}$（或 $[1,+\infty )$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：形如 $|x-a|⩾|x-b|$ 的绝对值不等式。
• 核心方法：平方法消去绝对值；或几何意义法取中点 $\frac{a+b}{2}$。
• 避坑指南：结果必须以集合或区间的规范形式书写。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：选修4-5《不等式选讲》中的双绝对值不等式基本解法。
• 结论推广：$|x-a|⩾|x-b|$ 的解集为以 $\frac{a+b}{2}$ 为分界、靠近离 $a$ 更远一侧的半数轴区间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 1977-黑龙江卷-01(2)
• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域
• 2008-浙江卷文-11 填-函数代入求值