2011-新课标卷理-07 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及通径公式。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)） 设直线 $l$ 过双曲线 $C$ 的一个焦点，且与 $C$ 的一条对称轴垂直，$l$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$|AB|$ 为 $C$ 的实轴长的 2 倍，则 $C$ 的离心率为 ()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

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1. 直线过焦点且垂直于对称轴（实轴），截得的线段 $|AB|$ 即为双曲线的通径，长为 $\frac{2b^2}{a}$。
2. 根据已知条件 $|AB|=2\times 2a=4a$ 建立关于 $a,b$ 的等式。
3. 利用 $c^2=a^2+b^2$ 转化为离心率 $e=\frac{c}{a}$ 求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由题意，直线 $l$ 过双曲线焦点且垂直于实轴，所得弦 $AB$ 即为双曲线的通径。 通径长公式为： $|AB|=\frac{2b^2}{a}$ 双曲线的实轴长为 $2a$。由题意 $|AB|$ 为实轴长的 2 倍，得： $\frac{2b^2}{a}=2\times 2a=4a⟹b^2=2a^2$ 因为 $c^2=a^2+b^2$，所以： $c^2=a^2+2a^2=3a^2⟹\frac{c^2}{a^2}=3$ 因此，双曲线的离心率为： $e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}$ 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：圆锥曲线通径长公式 $|AB|=\frac{2b^2}{a}$ 与离心率公式 $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$。
• 核心方法：熟记圆锥曲线的特征量公式直接代入秒解。
• 避坑指南：注意“实轴长的 2 倍”是 $2\times 2a=4a$，而非 $2a$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：解析几何教材中关于双曲线焦点弦、通径定义的基础应用题。
• 结论推广：若双曲线通径为实轴长的 $k$ 倍，则 $\frac{2b^2}{a}=2ka⟹\frac{b^2}{a^2}=k$，此时离心率恒为 $e=\sqrt{1+k}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 1992-全国卷理-22
• 2006-福建卷理-10 单-离心率的计算
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率