2011-新课标卷理-15 填-线面平行

本题导读

本题考查球的内接多面体，以及勾股定理与球心距。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(理)） 已知矩形 $ABCD$ 的顶点都在半径为 4 的球 $O$ 的球面上，且 $AB=6$，$BC=2\sqrt{3}$，则棱锥 $O-ABCD$ 的体积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算矩形 $ABCD$ 的对角线长及其外接圆半径 $r$。
2. 利用球的截面圆性质：球心 $O$ 到底面矩形的距离（球心距）满足 $d=\sqrt{R^2-r^2}$。
3. 计算矩形面积 $S_{ABCD}$，利用棱锥体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot d$ 求解。

✅【答案】

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$8\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

在矩形 $ABCD$ 中，$AB=6,BC=2\sqrt{3}$， 其对角线长为： $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{6^2+(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{36+12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$ 矩形外接圆的半径为： $r=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{3}$ 设球心 $O$ 到平面 $ABCD$ 的垂直距离（高）为 $h$，由球的截面几何性质： $h=\sqrt{R^2-r^2}$ 已知球半径 $R=4$，代入得： $h=\sqrt{4^2-(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{16-12}=\sqrt{4}=2$ 底面矩形 $ABCD$ 的面积为： $S_{ABCD}=AB\times BC=6\times 2\sqrt{3}=12\sqrt{3}$ 所以棱锥 $O-ABCD$ 的体积为： $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}\times 12\sqrt{3}\times 2=8\sqrt{3}$ 故答案为：$8\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：球的内接图形几何关系 $R^2=r^2+d^2$、棱锥体积公式。
• 核心方法：构建球心、截面圆心与多边形顶点的空间直角三角形求解球心距。
• 避坑指南：计算棱锥体积时不要忘记乘系数 $\frac{1}{3}$；计算对角线及底面面积时注意根式的化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自外接球与球截面圆基本几何性质（垂径定理的三维推广）。
• 结论推广：设内接于半径为 $R$ 的球的平面多边形外接圆半径为 $r$，则球心到该多边形所在平面的垂线长恒满足 $d=\sqrt{R^2-r^2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-16 填-球表面积
• 2013-天津卷理-04 单-球的体积公式
• 2013-新课标I卷理-06 单-球的体积与表面积