2011-江苏卷-12 填-切线法线与中点最值

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及切线与法线方程。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $P$ 是函数 $f(x)={\mathrm{e}}^x$（$x>0$）的图象上的动点，该图象在 $P$ 处的切线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $M$，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线交 $y$ 轴于点 $N$.设线段 $MN$ 的中点的纵坐标为 $t$，则 $t$ 的最大值是　　.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：设 $P(x_0,{\mathrm{e}}^{x_0})$
2. 步骤2：分别写出切线与法线在 $y$ 轴上的截距
3. 步骤3：得 $t(x_0)$ 后求导求最值

✅【答案】

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$\frac{\mathrm{e}+{\mathrm{e}}^{-1}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $P(x_0,{\mathrm{e}}^{x_0})$（$x_0>0$），则 $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x$，切线斜率 $k_l={\mathrm{e}}^{x_0}$。

切线方程为 $y-{\mathrm{e}}^{x_0}={\mathrm{e}}^{x_0}(x-x_0)$，令 $x=0$ 得 $y_M=(1-x_0){\mathrm{e}}^{x_0}$。

法线斜率为 $-\frac{1}{k_l}=-{\mathrm{e}}^{-x_0}$，法线方程为 $y-{\mathrm{e}}^{x_0}=-{\mathrm{e}}^{-x_0}(x-x_0)$，令 $x=0$ 得 $y_N={\mathrm{e}}^{x_0}+x_0{\mathrm{e}}^{-x_0}$。

由中点坐标公式，$t=\frac{y_M+y_N}{2}=\frac{(2-x_0){\mathrm{e}}^{x_0}+x_0{\mathrm{e}}^{-x_0}}{2}$。

设 $g(x)=\frac{(2-x){\mathrm{e}}^x+x{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$（$x>0$），求导得

$g^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\left[-{\mathrm{e}}^x+(2-x){\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}-x{\mathrm{e}}^{-x}\right]=\frac{1}{2}(1-x)({\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x})$。

因 ${\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}>0$，故 $0<x<1$ 时 $g^{\prime }(x)>0$，$x>1$ 时 $g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 在 $x=1$ 处取得最大值

$g(1)=\frac{\mathrm{e}+{\mathrm{e}}^{-1}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义（切线与法线斜率）；截距的坐标化；导数判定单调性与最值

核心方法：设参求截距，把几何量 $t$ 化为单变量函数，再求导定最值；导函数提出公因式 $(1-x)$ 降低符号判断难度

避坑指南：法线斜率必须是切线斜率的负倒数 $-\frac{1}{k_l}$，漏掉负号会全错；求导时两项都要用乘积法则，$(2-x){\mathrm{e}}^x$ 求导后是 $-{\mathrm{e}}^x+(2-x){\mathrm{e}}^x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线法线与导数最值综合题，与 2013 年江苏卷第 9 题、2014 年江苏卷第 11 题同族。

结论推广：最大值 $\frac{\mathrm{e}+{\mathrm{e}}^{-1}}{2}$ 恰为双曲余弦函数在 $x=1$ 处的值 $\cosh 1=\frac{{\mathrm{e}}^2+1}{2\mathrm{e}}$。

方法推广：几何量代数化题按”设点 → 写直线 → 取截距 → 组目标函数 → 求导定最值”五步执行，目标函数求导后优先因式分解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-09 填-切线方程
• 2014-江苏卷-11 填-导数几何意义