2011-江苏卷-13 填-等差等比交错不等链

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的综合，以及不等式组有解的充要条件。

📌【题干】

Question

（2011年江苏卷） 设 $1=a_1⩽a_2⩽\cdots ⩽a_7$，其中 $a_1$，$a_3$，$a_5$，$a_7$ 成公比为 $q$ 的等比数列，$a_2$，$a_4$，$a_6$ 成公差为 $1$ 的等差数列，则 $q$ 的最小值是　　.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：设 $a_2=x$
2. 步骤2：把不等链化为关于 $x$ 的上下界组
3. 步骤3：要求 $\max \{\cdot \}⩽\min \{\cdot \}$

✅【答案】

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$\sqrt[3]{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_1=1$ 及奇数项成公比 $q$ 的等比数列，得 $a_3=q$，$a_5=q^2$，$a_7=q^3$；由单调不减知 $q⩾1$。

设 $a_2=x$，则 $a_4=x+1$，$a_6=x+2$。由 $a_1⩽a_2⩽\cdots ⩽a_7$ 得关于 $x$ 的不等式组

$\{\begin{array}{l}1⩽x⩽q,\\ q-1⩽x⩽q^2-1,\\ q^2-2⩽x⩽q^3-2.\end{array}$

存在实数 $x$ 的充要条件是每个下界都不超过每个上界，即

$\max \{1,q-1,q^2-2\}⩽\min \{q,q^2-1,q^3-2\}$。

逐一检查各下界与上界的配对：由 $1⩽q^3-2$ 得 $q^3⩾3$，即 $q⩾\sqrt[3]{3}$；由 $1⩽q^2-1$ 得 $q⩾\sqrt{2}<\sqrt[3]{3}$；其余配对（如 $q^2-2⩽q$、$q-1⩽q^2-1$、$q^2-2⩽q^3-2$）在 $q⩾\sqrt[3]{3}$ 时都成立（$q^3-q-1$ 的唯一正根约 $1.325<\sqrt[3]{3}$）。

故必要条件为 $q⩾\sqrt[3]{3}$。当 $q=\sqrt[3]{3}$ 时，取 $x=1$，得数列

$1,1,\sqrt[3]{3},2,\sqrt[3]{9},3,3$，

满足 $1⩽1⩽\sqrt[3]{3}⩽2⩽\sqrt[3]{9}⩽3⩽3$，所有条件成立。因此 $q$ 的最小值为 $\sqrt[3]{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差等比数列的通项；不等式组有解的充要条件（上下界交集非空）

核心方法：设出等差链的起点 $x$，把多重不等链化为 $\max \{\cdot \}⩽\min \{\cdot \}$ 型存在性问题，再取临界值验证

避坑指南：只盯相邻两项会漏掉跨项约束 $1⩽x⩽q^3-2$（即 $q⩾\sqrt[3]{3}$），错答 $\sqrt{2}$；求出下界后必须构造实例验证等号可以取到。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列交错不等链压轴填空题，与 2010 年江苏卷第 14 题、2014 年江苏卷第 14 题同族。

结论推广：对长度为 $2n+1$ 的奇等比偶等差序列，临界约束由首末两项直接给出 $1⩽q^n-(n-1)$，等号成立时 $q_{\min }=\sqrt[n]{n}$。

方法推广：存在性求参题把所有约束写成”下界组与上界组”，取最难满足的一对求临界值，最后必须回代构造实例确认可取。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-14 填-等比数列的综合应用
• 2014-江苏卷-07 填-等比数列通项