2011-江西卷理-03 单-函数图象

本题导读

本题考查函数定义域，以及对数函数性质。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(理)） 若 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{{\log }_{\frac{1}{2}}(2x+1)}}$，则 $f(x)$ 定义域为 ()

A. $\left(-\frac{1}{2},0\right)$　　　B. $\left(-\frac{1}{2},0\right]$　　　C. $\left(-\frac{1}{2},+\infty \right)$　　　D. $(0,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. 明确自变量限制条件：对数真数大于0，被开方数在分母上必须严格大于0。
2. 列出关于 $x$ 的不等式组并求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

要使函数有意义，需满足： $\{\begin{array}{l}2x+1>0\\ {\log }_{\frac{1}{2}}(2x+1)>0\end{array}$ 由第一式得 $x>-\frac{1}{2}$； 由第二式得 $0<2x+1<{\left(\frac{1}{2}\right)}^0=1$，解得 $-\frac{1}{2}<x<0$。 故函数定义域为 $\left(-\frac{1}{2},0\right)$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：具体函数定义域求解与对数不等式。
• 核心方法：依据“被开方数非负、分母不为零、真数大于零”建立约束方程组。
• 避坑指南：底数 $\frac{1}{2}\in (0,1)$，解对数不等式时需改变不等号方向；分母不能为 0，不能包含等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：对数函数单调性结合复合函数定义域的常考基本题型。
• 结论推广：函数 $y=\frac{1}{\sqrt{{\log }_{a}g(x)}}$（$0<a<1$）的定义域解法等价于解 $0<g(x)<1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1977-江苏卷-01(2)
• 1977-福建卷-01(3)
• 1978-全国卷-01(3)