2011-江西卷理-05 单-等比数列

本题导读

本题考查递推关系与抽象数列，以及数列的前 项和与通项关系。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足：$S_n+S_m=S_{n+m}$，且 $a_1=1$，那么 $a_{10}=$ ()

A. 1　　　　　　　B. 9　　　　　　　C. 10　　　　　　　D. 55

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用条件 $S_n+S_m=S_{n+m}$ 及 $S_1=a_1=1$，通过赋值法求出 $S_n$ 的表达式。
2. 利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$（$n⩾2$）求解 $a_{10}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $S_1=a_1=1$，且对任意正整数 $n,m$ 均有 $S_{n+m}=S_n+S_m$。 取 $m=1$，得 $S_{n+1}=S_n+S_1=S_n+1$。 这表明数列 $\{S_n\}$ 是以 $S_1=1$ 为首项，公差 $d=1$ 的等差数列。 因此 $S_n=1+(n-1)\times 1=n$。 当 $n⩾2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=n-(n-1)=1$。 所以数列 $\{a_n\}$ 是常数列，各项均为 1，故 $a_{10}=1$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：柯西型柯西函数方程在离散序列中的应用，$S_n$ 与 $a_n$ 的转换。
• 核心方法：特殊赋值法推出递推关系 $S_{n+1}-S_n=1$。
• 避坑指南：容易误将 $S_{10}$ 当作 $a_{10}$ 导致误选 C，务必区分前 $n$ 项和与第 $n$ 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自柯西函数方程 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ 在正整数集上的离散化模型。
• 结论推广：若定义在 ${\mathbf{N}}^{\ast }$ 上的数列前 $n$ 项和满足 $S_{n+m}=S_n+S_m$，则必有 $S_n=n{S}_1=n{a}_1$，且其通项必为常数列 $a_n=a_1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1993-新高考理-25
• 2014-陕西卷理-21 解-递推关系
• 2026-新高考I卷-14 填-等比数列