2011-江西卷理-07 单-函数迭代

本题导读

本题考查归纳推理，以及同余与数的周期性。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(理)） 观察下列各式：$5^5=3125$，$5^6=15625$，$5^7=78125$，$5^8=390625$，$5^9=1953125,\cdots$，则 $5^{2011}$ 的末四位数字为 ()

A. 3125　　　　　B. 5625　　　　　C. 0625　　　　　D. 8125

🔍【思路分析】

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1. 观察题干算式中末四位数字的循环周期。
2. 确定指数 $2011$ 对应的周期余数，锁定对应数字。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

计算并提取各幂次的末四位数字： $5^5$ 末四位为 $3125$； $5^6$ 末四位为 $5625$； $5^7$ 末四位为 $8125$； $5^8$ 末四位为 $0625$； $5^9$ 末四位为 $3125,\dots$ 由此可知，末四位数字以 $3125,5625,8125,0625$ 的顺序呈周期性循环，周期 $T=4$。 因为 $2011=4\times 501+7$，即 $2011\equiv 7(\mathrm{mod}4)$（或 $2011\equiv 3(\mathrm{mod}4)$）。 故 $5^{2011}$ 的末四位与 $5^7$ 的末四位相同，均为 $8125$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：归纳猜想与整数模周期问题。
• 核心方法：算模 $10000$ 的同余周期：$5^{n+4}\equiv 5^n(\mathrm{mod}10000)$（$n⩾5$）。
• 避坑指南：注意循环周期的起点是 $n=5$（$5^4=625$ 仅为三/四位数前置，尚未进入四位循环节），计算余数时必须以已进入周期的序号为基准。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：数论中模运算与欧拉定理推广背景下的周期展示。
• 结论推广：由欧拉定理可推知，对满足 $\gcd (a,m)=1$ 的数必有完全周期性；当底数与模有公因数时，存在预周期，之后进入纯周期。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2010-陕西卷理-12
• 2013-陕西卷理-14 填-归纳推理的基本方法
• 2002-北京卷理-20 解-并行计算与图论模型