2011-江西卷理-08 单-向量

本题导读

本题考查平行平面间的距离，以及充分必要条件的判定。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(理)） 已知 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 是三个相互平行的平面，平面 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 之间的距离为 $d_1$，平面 ${\alpha }_2,{\alpha }_3$ 之间的距离为 $d_2$.直线 $l$ 与 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 分别交于 $P_1,P_2,P_3$.那么“$P_1{P}_2=P_2{P}_3$”是“$d_1=d_2$”的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 建立线段长 $P_1{P}_2,P_2{P}_3$ 与平面距离 $d_1,d_2$ 的三角几何关系。
2. 双向推导充分性与必要性。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 ${\alpha }_1\parallel {\alpha }_2\parallel {\alpha }_3$，直线 $l$ 与这三个平面相交。 设直线 $l$ 与平面的法向量所夹锐角为 $\theta$（$0^{\circ }⩽\theta <90^{\circ }$）， 则根据射影定理与距离定义可知： $d_1=P_1{P}_2\cdot \cos \theta$，$d_2=P_2{P}_3\cdot \cos \theta$。 由于 $\cos \theta >0$，可得： $\frac{d_1}{d_2}=\frac{P_1{P}_2}{P_2{P}_3}$ 因此： $P_1{P}_2=P_2{P}_3⟹d_1=d_2$（充分性成立）； $d_1=d_2⟹P_1{P}_2=P_2{P}_3$（必要性成立）。 故“$P_1{P}_2=P_2{P}_3$”是“$d_1=d_2$”的充分必要条件。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：面面平行的截距比例定理及充要条件逻辑判断。
• 核心方法：借助同一条直线与各平行平面的夹角相同建立比例方程。
• 避坑指南：直线 $l$ 是固定的一条直线，其与三个平行平面的夹角均恒等，切勿误设不同倾斜角度。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：立体几何中“平行线截线段成比例定理”在三维空间平行平面的自然推广。
• 结论推广：若直线截一组平行平面，则截得的对应线段之比恒等于平面间垂直距离之比。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2001-上海卷理-13 单-直线平行的判定条件
• 2002-北京卷理-10 单-空间面面垂直的判定与性质
• 2004-北京卷理-05 单-反函数存在的判定条件