2011-江西卷理-15 填-三选一

本题导读

本题考查极坐标与直角坐标的互化，以及圆的直角坐标方程。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(理)） 二选一. 【A】若曲线的极坐标方程为 $\rho =2\sin \theta +4\cos \theta$，以极点为原点，极轴为 $x$ 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为$\underline{}$. 【B】对于实数 $x,y$，若 $|x-1|⩽1$，$|y-2|⩽1$，则 $|x-2y+1|$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

【A】

1. 方程两边同乘以 $\rho$，得到 ${\rho }^2=2\rho \sin \theta +4\rho \cos \theta$。
2. 利用公式 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$ 与 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 整体代入化简。

【B】

1. 解不等式求出变量 $x,y$ 各自的闭区间取值范围。
2. 计算内层代数式 $u=x-2y+1$ 的取值区间 $[u_{\min },u_{\max }]$。
3. 取区间端点绝对值的最大值。

✅【答案】

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$x^2+y^2-4x-2y=0$

✍【详细解析】

Abstract

【A】 由已知极坐标方程 $\rho =2\sin \theta +4\cos \theta$， 两边同乘 $\rho$ 得：${\rho }^2=2\rho \sin \theta +4\rho \cos \theta$。 由 $\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \\ x^2+y^2={\rho }^2\end{array}$ 代入得： $x^2+y^2=2y+4x$ 移项整理得： $x^2+y^2-4x-2y=0(\text{或 }(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=5)$ 故【A】答案为：$x^2+y^2-4x-2y=0$（或 $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=5$）。

【B】 由 $|x-1|⩽1$ 得：$-1⩽x-1⩽1⟹0⩽x⩽2$； 由 $|y-2|⩽1$ 得：$-1⩽y-2⩽1⟹1⩽y⩽3$。 则 $-6⩽-2y⩽-2$。 同向相加得： $-6⩽x-2y⩽0$ 两边加 1 得： $-5⩽x-2y+1⩽1$ 因此： $|x-2y+1|⩽\max \{|-5|,|1|\}=5$ 当 $x=0,y=3$ 时，等号成立，此时 $|0-6+1|=5$。 故【B】答案为：5。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：选修4-4（坐标系与参数方程）与选修4-5（不等式选讲）基础题。
• 核心方法：
• 极坐标转直角坐标：利用 ${\rho }^2=x^2+y^2$、$\rho \cos \theta =x$、$\rho \sin \theta =y$ 整体代换；
• 绝对值最值：先求内层代数式范围，再确定绝对值边界。
• 避坑指南：【B】题切勿直接用 $|A-B|⩽|A|+|B|$ 盲目放大，避免等号无法同时取得导致结果虚大。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考选修系列（几何证明、坐标系、不等式）的传统填空选做模型。
• 结论推广：
• 若极坐标方程形如 $\rho =2a\cos \theta +2b\sin \theta$，直角坐标必为过原点的圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=a^2+b^2$；
• 线性形式 $Ax+By+C$ 在矩形区域 $[x_1,x_2]\times [y_1,y_2]$ 内的最大模长必在矩形四个顶点之一取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 1977-江苏卷-01(5)
• 1990-上海卷-11 单-圆的极坐标方程
• 1998-全国卷理-03