2011-浙江卷文-17 填-数列最大项

本题导读

本题考查数列的单调性，以及比商法。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(文)） 若数列 $\left\{n(n+4){\left(\frac{2}{3}\right)}^n\right\}$ 中的最大项是第 $k$ 项，则 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：$\frac{u_{n+1}}{u_n}>1⟺n^2<10$
2. 步骤2：故数列增至第 $4$ 项后递减

✅【答案】

点击查看答案

$4$

✍【详细解析】

Abstract

记 $u_n=n(n+4){\left(\frac{2}{3}\right)}^n>0$。

$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(n+1)(n+5)}{n(n+4)}\cdot \frac{2}{3}$，

$\frac{u_{n+1}}{u_n}>1⟺2(n+1)(n+5)>3n(n+4)⟺2n^2+12n+10>3n^2+12n⟺n^2<10$。

故 $n⩽3$ 时 $u_{n+1}>u_n$（$u_1<u_2<u_3<u_4$），$n⩾4$ 时 $u_{n+1}<u_n$（递减）。

最大项为第 $4$ 项，$k=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列单调性的比商判定；最大项定位

核心方法：正项数列比商，$\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$ 的解集给出单调区间，最大项在”增转减”的拐点处

避坑指南：$n^2<10$ 的解是 $n⩽3$（$n\in {\mathrm{N}}^{\ast }$），对应”$u_4$ 之前递增”，最大项是 $u_4$ 而非 $u_3$；比商式约分后分子 $(n+1)(n+5)$、分母 $n(n+4)$ 别写错位。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列单调性题与 2014-辽宁卷文-09、2013-新课标I卷理-12、2013-辽宁卷理-04 同族。

结论推广：推广：$u_n=f(n)q^n$（$q\in (0,1)$，$f$ 为多项式）型最大项由 $\frac{u_{n+1}}{u_n}⩾1$ 的整数解确定，比商往往归结为二次不等式。

方法推广：数列最大项题：正项比商列不等式，解出”增转减”的分界 $n$，最大项 = 分界处的 $u_{n+1}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-09 单-数列单调
• 2013-新课标I卷理-12 单-数列单调性
• 2013-辽宁卷理-04 单-数列单调性