2011-浙江卷理-09 单-古典概型

本题导读

本题考查计数原理与排列组合，以及相对立事件与不相邻问题。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(理)）

有 5 本不同的书，其中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本. 若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率为 ()

A. $\frac{1}{5}$　　　　　　　B. $\frac{2}{5}$　　　　　　　C. $\frac{3}{5}$　　　　　　　D. $\frac{4}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算总排列数：5 本不同的书全排列数为 $5!=120$。

2. 利用对立事件：设事件 $A$ 为“语文书相邻”，事件 $B$ 为“数学书相邻”，则所求事件为“两组同科目书都不相邻”，即 $\bar{A}\cap \bar{B}$。

3. 利用容斥原理求出至多有一组相邻或都相邻的排列数，进而求出都不相邻的排列数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

5 本不同的书随机全排列，基本事件总数为 $N=5!=120$ 种。

设事件 $A$：“2 本语文书相邻”，事件 $B$：“2 本数学书相邻”。

• 计算 $|A|$：将 2 本语文书看作一个整体，与其余 3 本书共 4 个元素排列，内部 2 本语文书可交换顺序，故 $|A|=2!\times 4!=48$ 种；

• 计算 $|B|$：同理，2 本数学书相邻的排列数为 $|B|=2!\times 4!=48$ 种；

• 计算 $|A\cap B|$：语文书相邻且数学书也相邻，将语文整体和数学整体视为两个大元素，与物理书共 3 个元素排列，内部均可交换顺序，故 $|A\cap B|=3!\times 2!\times 2!=24$ 种。

由容斥原理，至少有一组同科目书相邻的排列数为：

$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=48+48-24=72\text{ 种}$

因此，同一科目的书都不相邻的排列数为：

$120-72=48\text{ 种}$

所求概率为：

$P=\frac{48}{120}=\frac{2}{5}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：排列组合基本原理、容斥原理、古典概型概率公式。

• 核心方法：利用对立事件及容斥原理求解“都不相邻”问题。

• 避坑指南：计算交集 $|A\cap B|$ 时，切勿漏掉内部元素的自排顺序。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考计数原理与概率综合经典小题。

• 结论推广：处理多类元素相邻问题时，捆绑法与容斥原理是核心工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2021-甲卷文-10 单-排列组合

• 2005-辽宁卷-15 填-排列组合

• 2009-重庆卷文-13 填-不相邻排列